metritchni_proct

них пiдмножин має непорожнiй перерiз, привело до того, що ця множина не є нi замкненою, нi незамкненою. Останнє звичайно неможливо. А отже, якщо будь-яка спадна послiдовнiсть непорожнiх замкнених пiдмножин множини K має непорожнiй перерiз, то K – компактна множина.

При обгрунтуваннi властивостей неперервних на вiдрiзку функцiй iстотно використовується той факт, що для кожної стяжної системи вкладених вiдрiзкiв iснує єдина точка, яка належить всiм цим вiдрiзкам (в аксiоматицi дiйсних чисел Кантора цей факт має статус аксiоми, а при побудовi теорiї дiйсних чисел за Вейєрштрассом – теореми). Оскiльки кожна система вкладених вiдрiзкiв є спадною послiдовнiстю непорожнiх компактiв, то природною була спроба узагальнити цей факт. Як результат маємо таку теорему ( її називають теоремою Кантора).

Теорема 5.5. Якщо послiдовнiсть (Kn) непорожнiх ком-

пактних множин є спадною i lim diam Kn = 0, то перерiзом

n→∞

цих компактних множин є одноелементна множина.

Доведення. Оскiльки кожна компактна множина є замкнена, то послiдовнiсть (Kn) є спадною послiдовнiстю непорожнiх

замкнених пiдмножин компактної множини K1, а отже, за тео-

∞

T

ремою 1.5.4 Kn 6= . Припустимо, що iснує послiдовнiсть

n=1

(Kn) непорожнiх компактних множин, яка задовольняє умови теореми, a їх перерiз є множина з бiльше, нiж одним елементом,

тобто iснують принаймнi двi рiзнi точки x1 i x2, що належать

∞

T

множинi Kn. Зрозумiло, що цi точки належать кожнiй мно-

n=1

жинi Kn, а отже, для кожного n

diam Kn = sup d(x, y) ≥ d(x1, x2) > 0.

x,y Kn

121

Останнє суперечить тому, що

lim diam Kn = 0.

n→∞

	∞
Одержане протирiччя i доводить, що	T Kn всiх членiв послi-

n=1

довностi (Kn), яка задовольняє умови теореми, є одноелементна множина (iснує єдина точка, яка належить всiм компактним множинам цiєї послiдовностi). Розглянемо ще одну топологiчну властивiсть вiдрiзка, узагальнення якої приведе ще до одного означення компактної множини, точнiше компакту. Казатимемо, що сiмейство iнтервалiв

П = {Iλ | λ Λ} покриває вiдрiзок [a; b], якщо [a; b] S Iλ. Ви-

λ Λ

являється, що з будь-якої системи iнтервалiв, якi покривають вiдрiзок, можна вибрати скiнченне число iнтервалiв, якi теж покривають цей вiдрiзок (теорема Бореля–Лебега).

Обгрунтуємо цей факт. Припустимо, що iснує вiдрiзок [a; b] i сiмейство iнтервалiв П = {Iλ | λ Λ}, якi покривають вiдрiзок, однак з неї неможливо вибрати скiнченне число iнтервалiв, якi б покривали його. Вiдрiзок [a; b] подiлимо навпiл. Тодi хоча

би один з вiдрiзкiв			a;	a + b		,	a + b		; b покривається нескiн-
							2
			2
ченним числом	iнтервалiв, з яких не можна видiлити скiнченне
		h			i	h			i

число iнтервалiв, якi б його покривали. Позначимо такий вiдрiзок через [a1; b1]. Вiдрiзок [a1; b1] подiлимо навпiл. I знову хоча

би один з вiдрiзкiв	a1	;	a1 + b1		,	a1 + b1	; b1 покривається не-
						2
		2
iнтервалiв, з яких не можна видiлити скiн-
скiнченним числом h				i	h		i

ченне число iнтервалiв, якi б його покривали. Позначимо такий вiдрiзок через [a2; b2]. Продовжимо цю процедуру необмежено. Як результат отримаємо систему вкладених вiдрiзкiв

[a; b] [a1; b1] [a2; b2] . . . [an; bn] . . .

з характеристичною властивiстю: кожен з цих вiдрiзкiв покривається нескiнченним числом iнтервалiв з сiмейства П, i нi один

122

з них не можна покрити скiнченним числом таких iнтервалiв. Нехай c – точка, яка належить усiм вiдрiзкам системи. Оскiльки c [a; b], то у сiмействi П iснує iнтервал Iλ◦ такий, що c Iλ◦. Нехай Iλ◦ = (α, β). Тодi оскiльки c (α, β) i для ко-

жного n c [an; bn], причому bn − an → 0 при n → ∞, то iснує

n◦ таке, що α < an◦ ≤ c ≤ bn◦ < β.

Маємо вiдрiзок [an◦; bn◦], який з одного боку, не можна покрити скiнченним числом iнтервалiв з П, з другого боку, вiн покривається одним iнтервалом (α, β). Одержане протирiччя свiдчить про те, що наше припущення хибне, а отже, з будь-якої системи iнтервалiв, якi покривають вiдрiзок, можна вибрати скiнченне число iнтервалiв, якi теж покривають цей вiдрiзок.

Виявляється, що з усiх промiжкiв числової прямої таку властивiсть мають тiльки вiдрiзки. Наприклад, система iнтервалiв

n	1		n N	o
	(n; 2)			покриває напiвiнтервал (0; 1], однак з неї не мо-

жна видiлити скiнченне число таких, якi б покривали цю множину. Аналогiчно, з системи iнтервалiв {(n − 2; n + 1) | n N}, яка покриває промiжок [1; +∞), не можна видiлити скiнченне число таких, якi б теж покрили цей промiжок.

Якщо врахувати, що в абстрактному метричному просторi вiдкритим i компактним множинам вiдводиться роль подiбна тiй, яку вiдiграють iнтервали i вiдрiзки, то природно з’ясувати, чи можливо з кожної системи вiдкритих множин, якi покривають компакт, видiлити скiнченне число таких, що теж його покривають. Вiдповiдь виявилась позитивною, причому в обидвi сторони.

Означення 5.3. Сiмейство вiдкритих множин

П = {Gλ | λ Λ}

називають покриттям множини A, якщо A S Gλ.

λ Λ

123

S

Якщо ж iснують λ1, λ2, . . . , λn Λ такi, що A Gλ, то

λ Λ

казатимемо, що з покриття П можна видiлити скiнченне пiдпокриття.

Лема 5.1 Якщо сiмейство вiдкритих множин

П= {Gλ | λ Λ}

єпокриттям компактної множини K, то iснує ε◦ > 0 таке, що для кожного x K iснує вiдкрита множина Gλ◦ з даного

сiмейства, для якої куля B(x, ε◦) є пiмножиною.

Доведення. Припустимо, що для кожного ε > 0 можна вказати точку xε K таку, що куля B(xε, ε) не є пiдмножиною

жодної вiдкритої множини Gλ. Покладемо ε = 1, 12, . . . , n1 , . . .

Тодi, в силу припущення, iснують точки x1 K така, що куля B(x1, 1) не є пiдмножиною жодної вiдкритої множини Gλ;

x2 K така, що куля B(x2, 12) не є пiдмножиною жодної з вiд-

критих множин Gλ; . . . ; xn K така, що куля B(xn, n1 ) не є пiдмножиною жодної з вiдкритих множин Gλ; . . . Як результат, отримаємо послiдовнiсть (xn) точок компактної множини K. Нехай (xnk ) її збiжна пiдпослiдовнiсть, границя якої точка x◦ належить K. Тодi у сiмействi П знайдеться вiдкрита множина Gλ◦, якiй належить x◦, а отже, iснує куля B(x◦, r), всi

точки якої належать Gλ

. Оскiльки

lim xnk = x◦, то для будь-

◦

r

k→∞

якого ε > 0, зокрема, для ε =

, iснує k◦ таке, що для всiх

2

r

2

k > k◦ d(xnk , x◦) <

. Якщо k > k◦ i nk >

, то

2

r

1

r

B(xnk ,

)

B(xnk ,

) B(x◦, r) Gλ◦ ,

nk

2

124

тобто для точки xnk куля B(xnk , 1 ) є пiдмножиною вiдкритої

nk

множини Gλ◦ , що неможливо для жодного члена послiдовностi (xn). Одержане протирiччя свiдчить про те, що наше припущення хибне, а отже, для кожного покриття {Gλ |λ Λ} компактної множини K можна вказати ε◦ > 0 таке, що для кожного x K iснує вiдкрита куля Gλ◦ , для якої куля B(x, ε◦) є пiдмножиною.

Теорема 5.6. Метричний простiр (X, d) є компактом тодi i тiльки тодi, коли з будь-якого її покриття вiдкритими множинами можна видiлити скiнченне пiдпокриття.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай X – компакт. Доведемо, що з кожного покриття П = {Gλ| λ Λ} множини X вiдкритими пiдмножинами можна вибрати скiнченне пiдпокриття.

Нехай ε◦ > 0 таке, що для кожного x X можна вказати вiдкриту множину Gλ з покриття П, для якої куля B(x, ε◦) є пiдмножиною. Виберемо з простору X точку x1, з множи-

ни X \ B(x1, ε◦) точку x2						(d(x1, x2)		≥ ε◦), з множини X \
(pис.14), .S. . , з множини X						n−1 B(xk, ε ) точку xn				(d(x1, xn)
(B(x1	, ε◦)	B(x2	, ε◦)) точку			x3	(d(x1	, x3) ≥	ε◦, d(x2, x3) ≥ ε◦)
◦	2 n	≥ ◦		n−1		S	≥ ◦				≥
					\k=1			◦
ε , d(x , x )		ε , . . . d(x			, xn)		ε ), . . . Якщо припустити, що

цю процедуру можна продовжити нескiнченно, то з послiдовностi (xn) обраних точок множини X неможливо видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть, бо m 6= n d(xm, xn) ≥ ε◦. Отже, iснує n таке,

що

n

[

X \ B(xk, ε◦) = ,

k=1

n

S

звiдcи випливає, що B(xk, ε◦) = X. Врахувавши, що кожна

k=1

куля B(xk, ε◦) є пiдмножиною деякої вiдкритої множини Gλk з покриття П дiстанемо скiнченне число вiдкритих множин, якi покривають простiр X.

125

Достатнiсть. Припустимо, що iснує метричний простiр X з будь-якого покриття П = {Gλ | λ Λ} вiдкритими множинами можна видiлити скiнченне пiдпокриття, однак X не є компактом. Нехай (xn) послiдовнiсть точок множини X, з якої не можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть. Тодi множина A = {x1, x2, . . . , xn, . . .}, елементами якої є члени послiдовностi (xn), є замкненою, бо вона не має граничних точок. Її доповнення CA до простору X є вiдкрита множина. А отже, для кожного x CA = X \ A iснує куля B(x, rx), яка є пiдмножиною множини X \ A, i сiмейство {B(x, rx) | x X \ A} є покриттям вiдкритими множинами множини X \ A.

Рис. 14

З другого боку, для кожної точки xn з множини A iснує εn > 0

126

таке, що куля B(xn, εn) мiстить скiнченне число точок з множини A. Оскiльки сiмейство {B(xn, εn) | n N} покриває множину A, то сiмейство

{B(x, rx) | x X \ A} {B(xn, εn) | n N}

є покриттям вiдкритими множинами простору X. Якщо iз цього покриття взяти будь-яке скiнченне число вiдкритих множин, то серед них може бути тiльки скiнченне число куль B(xn, εn), i вони покриють тiльки скiнченне число точок множини A. Отже, з побудованого покриття простору X вiдкритими множинами не можна видiлити скiнченне пiдпокриття, що суперечить умовi. Одержане протирiччя свiдчить про те, що кожен метричний простiр, з будь-якого покриття якого вiдкритими множинами можна видiлити скiнченне пiдпокриття, є компакт.

Зауваження. Якщо в просторi Rn з евклiдовою метрикою (або їй еквiвалентною) гарантом компактностi множини є обмеженiсть i замкненiсть (що у багатьох випадках неважко перевiрити), то при формулюваннi ефективних прийомiв перевiрки компактностi множин у таких важливих просторах як l2, C[a;b] з рiвномiрною метрикою iстотньо використовується їх повнота. Тому приклади компактних множин у цих просторах будуть розглянутi пiзнiше.

Однiєю з важливих задач аналiзу є задача найкращого наближення, яка у термiнах метричного простору формулюється як задача iснування найближчої точки серед точок з певними властивостями до фiксованої точки.

Якраз для компактних множин ця задача розв’язується позитивно.

Нехай маємо метричний простiр (X, d), i нехай пiдмножина K множини X є компактною. Доведемо, що для будь-якої точки x з X iснує точка yx K така, що d(x, K) = d(x, yx).

Справдi, якщо x K, то d(x, K) = 0 i за точку yx можна

127

взяти x. Якщо ж x / K, то в силу означення

d(x, K) := inf d(x, y)

y K

для будь-якого ε > 0 iснує точка y0 K така, що d(x, y0) <

< d(x, K) + ε. Покладемо ε = 1,				1	, . . . ,		1	, . . .. Тодi iснують то-
			2
чка y1 K така, що d(x, y1)						n				y2 K
	< d(x, K) + 1;								точка
така, що d(x, y2) < d(x, K) +	1		; . . ., точка yn						K	така, що
	2

d(x, yn) < d(x, K) + n1 ; . . . Послiдовнiсть (yn) є послiдовнiстю точок компактної множини K, а отже, з неї можна видiлити

пiдпослiдовнiсть (ynk ), для якої klim→∞ ynk = y◦ K. Тодi з не-
рiвностi		1
d(x, ynk ) < d(x, K) +
		nk
маємо:
klim d(x, ynk ) = d(x, y◦) ≤ d(x, K).
→∞	d(x, y) ≥ d(x, K), то
А оскiльки для будь-якого y K

d(x, K) = d(x, y◦).

Пiдкреслимо, що для замкненої множини такої точки може не iснувати. Так наприклад, якщо у метричному просторi R2 з

метрикою

d((x1, y1), (x2, y2)) =

|y1

− y2|,

+

x1

x2

,

якщо

x1

= x2,

|

y1

|

+

y2

|

−

|

якщо

x1

= x2

|

|

6

взяти множину F = {(x, 1) |x > 0}, то для будь-яких двох рiзних точок цiєї множини (x1, 1), (x2, 1)

d((x1, 1), (x2, 1)) = 2 + |x1 − x2| > 2,

128

Така множина граничних точок немає, а отже, є замкненою. Знайдемо вiдстань вiд точки (0, 1) до цiєї множини. Маємо:

d((0; 1), F ) = inf d((0; 1), (x, 1)) = inf (2 + x) = 2

(x,1) F	x>0

Разом з тим для будь-якої точки (x, 1) F

d((0, 1), (x, 1)) = 2 + x > d((0, 1), F ).

Нехай A1 i A2 двi множини точок метричного простору X, якi не мають спiльних елементiв. Якщо A1 i A2 замкненi, то, взагалi кажучи, вiдстань мiж ними може дорiвнювати нулю.

Справдi, у просторi R з природною метрикою множини A1 =
√			√
{	2n − 1	| n N},	A2 = { 2n | n N} є замкненi (у них

немає граничних точок) неперекривнi множини. Разом з тим

√

√

= lim (√

√

2n

2n

d(A

, A

) =

inf

A2

|

2m

−

1

−

2n

−

1) = 0.

1

2

m

A1

,n

|

n

→∞

−

Якщо ж з двох замкнених неперекривних множин хоча б одна компактна, то d(A1, A2) > 0.

Справдi, якщо припустити, що iснує метричний простiр i у ньому компактна множина A1 i замкнена множина A2 такi, що

d(A1, A2) := inf d(x, y) = 0,

x A1, y A2

то для будь-якого ε > 0 можна вказати точки x0 з A1 i y0 з A2 такi, що

						d(x0, y0) < ε.
Покладемо ε			1			1		, . . .. Тодi iснують точки			x1
	=	1,			, . . . ,
			2				n
A1, y1 A2	такi,	що				d(x1, y1) < 1,			точки x2	A1, y2	A2
такi, що d(x2, y2)		<		1		, . . ., точки xn			A1, yn	A2 такi, що
			2

d(xn, yn) < n1 , . . . . Оскiльки A1 компактна множина, то з послiдовностi точок (xn) можна вибрати пiдпослiдовнiсть (xnk ), для

129

якої lim xnk = x◦ A1. Останнє означає, що для будь-якого

k→∞

ε > 0 iснує номер k◦ такий, що для всiх k > k◦ d(xnk , x◦) < ε, а отже, для таких k

1 d(x◦, ynk ) ≤ d(x◦, xnk ) + d(xnk , ynk ) < ε + nk .

Звiдси випливає, що для будь-якої кулi B(x◦, r) можна пiдiбрати ε i nk такi, що

ε + 1 < r, nk

а отже, вона мiстить точку з множини A2. Це означає, що x◦ є гранична точка множини A2 i, в силу замкненостi A2, їй належить. Таким чином, точка x◦ належить як множинi A1, так i множинi A2, що суперечить умовi. Отримане протирiччя доводить, що коли A1 – компактна, A2 – принаймнi замкнена i

A1 ∩ A2 = , то d(A1, A2) > 0.

Нарештi, нехай A1 i A2 – компактнi множини (A1 ∩ A2 =

=). Тодi iснують точки x◦ A1, y◦ A2 такi, що d(A1, A2) =

=d(x◦, y◦).

Справдi, оскiльки

					d(A1, A2) =	inf	d(x, y),
					x A1, y A2
то iснують			точки x1 A1,			y1	A2	такi, що d(x1, y1)	<
d(A1	, A2) + 1; точки x2 A1,					y2	A2	такi, що d(x2, y2) <
d(A1	, A2) +	1		; . . . ; точки xn A1,			yn A2 такi, що d(xn, yn) <
		2
d(A1	, A2) +		1		; . . .. З послiдовностi (xn) точок множини A1				ви-

n

беремо пiдпослiдовнiсть (xnk ), для якої

lim xnk = x◦ A1,

k→∞

130