metritchni_proct

всiх k > k◦(n)

Врахувавши, що для кожного i = 1, n

|	xki	−	x◦i	v	n	(xki	−	x◦i)2	,
				| ≤ ui=1
				uX
				t

дiстаємо, що для будь-якого k > k◦

|xki − x◦i|

якраз означає, що для кожного i =

1, n

lim x

ki

= x

◦i

.

k→∞

Достатнiсть. Нехай для послiдовностi

(xk) = (xk1, xk2, . . . , xkn)

lim x

k1

= x

◦1

,

lim x

k2

= x

◦2

, . . . , lim x

kn

k→∞

k→∞

k→∞

< ε. Останнє

= x◦n.

Тодi для будь-якого ε > 0, зокрема для √εn, iснує номер k◦(1)

такий, що для всiх k > k◦(1) виконується нерiвнiсть |xk1 − x◦1| < √εn, iснує номер k◦(2) такий, що для всiх k > k◦(2) виконується

нерiвнiсть |xk2 − x◦2| < √εn, . . ., iснує номер k◦(n) такий, що для виконується нерiвнiсть |xkn − x◦n| < √εn. Нехай k◦ = max(k1(◦), k2(◦), . . . , kn(◦)). Тодi для будь-якого k > k◦ i для

кожного i = 1, n виконується нерiвнiсть

ε

|xki − x◦i| < √n.

А отже, для всiх k > k◦
v			v
	n	(xki − x◦i)2		n	ε2
d(xk, x◦) = ui=1			< ui=1		n .
uX			uX
t			t

91

А це й означає, що
lim xk = x◦.
k→∞

Зауваження. Збiжнiсть у просторi Rn з евклiдовою метрикою має покоординатний характер. Отже, щоб переконатись, що послiдовнiсть (xk) збiгається, досить переконатись, що всi

числовi послiдовностi (xki)

(i = 1, n) збiгаються, i, якщо

lim x

k1

= x

◦1

,

lim x

k2

= x

◦2

, . . . ,

lim x

kn

= x

◦n

,

k→∞

k→∞

k→∞

то lim x	k	= x	◦	=	x	◦1	, x	◦2	, . . . , x	◦n	. Це дає можливiсть
k→∞

при дослiдженнi на збiжнiсть послiдовностей точок простору Rn скористатись iнструментарiєм дослiдження на збiжнiсть числових послiдовностей, зокрема при знаходженнi границь послiдовностей i при конструюваннi збiжних послiдовностей можна скористатись таблицею границь:

1. nlim

1

= 0;

2. nlim qn = 0, |q| < 1;

n

→∞

→∞

1

n

n

3. lim

√a = 1, a > 0;

4. lim (1 +

)

= e;

n→∞

n→∞

n

loga n

n

5. lim

√n = 1;

6. lim

n

= 0, a > 1;

n→∞

an

n→∞

7. lim

= 0;

8. lim

n!

= 0,

n→∞ n!

n→∞ nn

i правилами знаходження границь.

Приклад 3. Побудувати послiдовнiсть точок простору R3, границя якої дорiвнює 1, π2 , e−2 .

Розв’язання. Побудуємо три числовi послiдовностi, границi яких вiдповiдно дорiвнюють 1, π2 , e−2. Ними можуть бути,

92

(xn − yn)2 .

наприклад, такi

π

2

n

(√n2 + n − 1 − √n2 − n + 1),

n sin

,

1

−

.

2n

n

Оскiльки

√

√

nlim ( n2 + n − 1 −

n2 − n + 1) =

→∞

= lim

2n − 2

= 1,

n→∞

√n2 + n − 1 + √n2 − n + 1

lim n sin

π

=

π

, lim

1

2

n

= e−2,

− n

то

n→∞

2n 2

n→∞

√

√

π

2

n

, n sin

lim

n2 + n

1

n2

n + 1

,

1

=

−

−

− n

n→∞

π

−

2n

= 1,

, e−2 .

2

Нехай маємо метричний простiр l2, тобто множину

∞

n o

X

l2 = (xn) | (xn) послiдовнiсть дiйсних чисел, x2n < ∞ ,

n=1

на якiй задано метрику: для будь-яких (xn), (yn) l2

v u ∞

X

u d((xn), (yn)) = t

n=1

Послiдовностi точок простору l2 будемо записувати у виглядi

((xkn)) = (xk1, xk2, . . . , xkn, . . .) .

93

Теорема 4.7. Для того, щоб послiдовнiсть ((xkn)) точок метричного простору l2 збiгалась до точки

(x◦n) = (x◦1, x◦2, . . . , x◦n, . . . ),

необхiдно i достатньо, щоб для будь-якого n

lim x			kn	= x		◦n
k→∞
i для будь-якого ε > 0 iснував номер n◦ такий, що
v
		∞			x◦2n < ε			(4.1)
un=n +1
		X◦
u
t
i для кожного k
v
u	∞
un=X◦					x2			(4.2)
t n +1					kn

Доведення. Необхiднiсть. Нехай послiдовнiсть ((xkn)) точок метричного простору l2 збiгається до точки (x◦n). Це означає, що для будь-якого ε > 0, зокрема для 2ε, iснує номер k◦

такий, що для всiх k > k◦

d((xkn), (x◦n)) = v	∞ (xkn	−	x◦n)2	<		ε	.
un=1					2
uX
t

∞

Оскiльки (x◦n) l2, то ряд P x2◦n збiгається. А отже, iснує

n=1

номер n1 такий, що

∞

X x2◦n < 2ε.

n=n1+1

94

Але тодi в силу нерiвностi Кошi-Мiнковського для будь-якого k > k◦

vv

u ∞

u ∞

XX

uu

tn=n1+1 xkn2 ≤ tn=n1+1(xkn − x◦n)2 +
+v	∞	x◦2n	< 2	+ 2	= ε.	(4.3)
un=n1		+1
	X
u

t

Оскiльки послiдовностi (x1n), (x2n), . . . , (xkn) є точками простору l2, то ряди

∞	∞	∞
X	X	X
x12n,	x22n, . . .	xkn2
n=1	n=1	n=1

збiжнi, i для обраного ε > 0 можна вказати номер n2 спiльний для всiх цих рядiв, що для всiх n > n2 виконуються нерiвностi

∞		∞		∞
X2		n=X2		X2
x12n	< ε2	,	x22n < ε2, . . . ,	xk2	◦	n < ε2.	(4.4)
n=n +1		n +1		n=n +1

Нехай n◦ = max(n1, n2). Тодi очевидно, що для будь-якого n > n◦ виконуються нерiвностi (4.3) i (4.4), а отже, i нерiвностi (4.1) i (4.2).

Таким чином, рiвномiрна обмеженiсть "хвостiв"рядiв, складених з квадратiв членiв послiдовностi, якi є членами заданої послiдовностi, i "хвоста"ряду, складеного з квадратiв членiв послiдовностi, яка є границею заданої, доведено.

В очевидний спосiб перевiряється, що якщо

lim (xkn) = (x◦n),

k→∞

95

то кожна послiдовнiсть (x1n, x2n, . . . , xkn, . . .), складена з n-их координат кожного члена заданої послiдовностi

(x1n) = (x11, x12, . . . , x1n, . . .),
(x2n) = (x21, x22, . . . , x2n, . . .),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(xkn) = (xk1, xk2, . . . , xkn, . . .),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
збiгається i
lim x	kn		= x		◦n		.
k→∞
Достатнiсть. Нехай для будь-якого n
lim x		kn	= x			◦n
k→∞
							ε2
i для будь-якого ε > 0, зокрема для								iснує номер n◦ такий,
							9
що
∞			ε2
n=X◦
x2			<				(4.5)
n +1	◦n		9
i для кожного k
∞				ε2
n=X◦			<				(4.6)
xkn2
n +1			9

Оскiльки для послiдовностi ((xk1, xk2, . . . , xkn◦ )) метричного простору Rn◦

lim (xk1, xk2, . . . , xkn◦ ) = (x◦1, x◦2, . . . , x◦n◦ ),

k→∞

то для 3ε iснує номер k◦ такий, що для всiх k > k◦ виконується нерiвнiсть

ε

d((xk1, xk2, . . . , xkn◦ ), (x◦1, x◦2, . . . , x◦n◦ )) < 3.

96

Тодi для будь-якого k > k◦

d((xkn), (x◦n)) = v

∞ (xkn

−

x◦n)2

≤

un=1

uX

v

t

+ v

n◦

(xki

−

x◦i)2

∞

(xkn

−

x◦n)2

<

≤ ui=1

un=n +1

uX

u X◦

t

t

v

v

ε

∞

∞

ε

ε

ε

<

+ un=n +1 xkn2 + un=n +1 x◦2n <

+

+

= ε

3

3

3

3

X◦

u

X◦

u

t

t

А це й означає, що

lim xkn = x◦n.

k→∞

Приклад 4. Довести, що послiдовнiсть ((0, 0, . . . , 1, 0, . . .)) (k-ий член k-го члена послiдовностi дорiвнює 1, а всi решта члени нулi) точок метричного простору l2 немає границi.

Розв’язання. Очевидно, що для кожного n

lim xkn = 0.

k→∞

Однак послiдовнiсть (0) не є границею заданої послiдовностi, бо для кожного k

d((xkn), (0)) = 1.

А оскiльки для ε = 1 i для кожного n◦ iснує k (досить його взяти бiльшим n) таке, що

v

u∞

X

u

tx2kn = 1,

n=n◦+1

то в силу критерiю i нiяка iнша точка простору l2 не може бути границею заданої послiдовностi.

97

Нехай маємо метричний простiр C[a;b] з рiвномiрною метрикою. Послiдовностями точок цього простору є функцiональнi послiдовностi, членами яких є неперервнi на вiдрiзку [a, b] функцiї. А збiжнiсть послiдовностi (fn) означає iснування такої неперервної на вiдрiзку [a; b] функцiї f◦, що числова послiдовнiсть

(d(fn, f◦)) = ( max |fn(x) − f◦(x)|)

a≤x≤b

є нескiнченно малою.

Разом з тим, ми вже маємо поняття збiжностi функцiональних послiдовностей. Причому крiм звичайної збiжностi у точцi i на множинi, особливе мiсце обiймає рiвномiрна збiжнiсть (функцiональна послiдовнiсть (fn(x)) називається рiвномiрно збiжною до функцiї f◦(x) на вiдрiзку [a; b], якщо для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ i будь-якого x [a; b] виконується нерiвнiсть |fn(x) − f◦(x)| < ε).

Природно з’ясувати, якого типу збiжностi вiдповiдає збiжнiсть у просторi C[a;b] з рiвномiрною метрикою.

Теорема 4.8. Для того, щоб послiдовнiсть (fn(x)) точок метричного простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою збiгалась до точки f◦ C[a;b], необхiдно i достатньо, щоб вона збiгалась рiвномiрно до функцiї f◦ на вiдрiзку [a; b].

Доведення. Необхiднiсть. Нехай послiдовнiсть (fn) точок

простору C[a;b] збiгається, i нехай lim fn(x) = f◦(x). Це означає,

n→∞

що для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦

d(fn, f◦) = max |fn(x) − f◦(x)| < ε.

a≤x≤b

Разом з тим, якщо

max |fn(x) − f◦(x)| < ε,

a≤x≤b

98

то нерiвнiсть

|fn(x) − f◦(x)| < ε

виконується для всiх x з вiдрiзка [a; b]. Таким чином для всiх n > n◦ i для будь-якого x [a; b] виконується нерiвнiсть

|fn(x) − f◦(x)| < ε.

А це й означає, що функцiональна послiдовнiсть (fn(x)) рiвномiрно збiгається до функцiї f◦(x) на вiдрiзку [a; b].

Достатнiсть. Нехай послiдовнiсть (fn(x)) точок з C[a;b] рiвномiрно збiгається до функцiї f◦ на вiдрiзку [a; b]. Оскiльки кожен член послiдовностi є неперервна на вiдрiзку [a; b] функцiя, то f◦ C[a;b] як границя рiвномiрно збiжної на вiдрiзку [a; b] послiдовностi неперервних функцiй, причому для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ i будь-якого x [a, b] виконується нерiвнiсть

|fn(x) − f◦(x)| < ε.

(4.7)

Для кожного n функцiя |fn(x) − f◦(x)| неперервна на вiдрiзку [a; b] i за теоремою Вейєрштрасса досягає на ньому свого найбiльшого значення, тобто iснує x◦ [a; b] таке, що

|fn(x◦) − f◦(x◦)| = max |fn(x) − f◦(x)|.

a≤x≤b

А оскiльки нерiвнiсть (1.4.7) виконується для всiх x [a; b], то вона має мiсце i у точцi x◦, тобто для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ виконується нерiвнiсть

max |fn(x) − f◦(x)| = d(fn, f◦) < ε.

a≤x≤b

А це й означає, що послiдовнiсть (fn) точок метричного простору C[a;b] збiгається до точки f◦.

99

Приклад 5. Довести, що послiдовнiсть n sin nx1 точок ме-

тричного простору C[1;2] з рiвномiрною метрикою збiгається i знайти її границю.

Розв’язання. Оскiльки для кожного x 6= 0

lim n sin 1 = 1 , n→∞ nx x

то претендентом на границю заданої послiдовностi є функцiя x1 . Залишається переконатись, що задана послiдовнiсть рiвномiрно

збiгається до функцiї

1

на вiдрiзку [1; 2]. Справдi, оскiльки для

x

1 2

будь-якого дiйсного t

виконується нерiвнiсть | sin t − t| ≤

t ,

2

то для всiх x [1; 2] виконується нерiвнiсть

1

1

= n

1

1

1

·

1

1

n sin nx

− x

sin nx − nx

≤ n2

(nx)2

≤ 2n.

=

1

n > n◦

x [1, 2]

n◦

h

2εi

Отже, якщо взяти

, то для всiх

i будь-якого

1

1

sin

−

< ε.

nx

x

В силу теореми 4.7 рiвномiрна

збiжнiсть

функцiональної послi-

довностi n sin

1

до функцiї

1

на вiдрiзку [1, 2] еквiвалентна

nx

x

тому, що у

з рiвномiрною метрикою

метричному просторi

C[1,2]

lim n sin

1

=

1

.

n→∞

nx

x

Нехай на однiй i тiй же множинi задано двi рiзнi метрики. Тодi маємо два рiзнi метричнi простори (X, d1) i (X, d2). Якщо (xn) деяка послiдовнiсть точок простору X, то логiчно можливi такi три випадки: а) послiдовнiсть (xn) розбiгається в обох

100