16. Пров стат значимости коэф ур-ния множ лин регрессии

Значим каждого коэфрегрbjопределt-статистикой аналогично парной линейной регр:

tbj=bj/Sbj=;

Sbj-стат ошибка коэфbj,

S^2- необ дисп. Если |tb|>tj-α, n-m, то коэф регрессии bjзначим на уровне α (знач смотр по таблице).

44. Теорема о сведении плат-й матрицы к матрице с полож числами.

Т-ма:Если p* и q* оптим-е смеш-е стр-гии соотв-но игроков А и В в матричной игре и ценой игры V, то эти стр-гии будут оптим-ми и в матричной игреи ценой игры V`=bV+c,b>0.

Док-во: Согласно теор.3 для оптим-й смеш-й стр-гии p* игрока А и для любой чистой стр-гии Bj игрока В вып-ся нер-во: V, j=1,n. Умножим посл-е нер-во на полож-е число и обеим частям нер-в прибавим произв-е , пол-м:+cVb+c+ c. Т.к. =1, то пол-м:b c)pi*bV+c, j=1,n. Т-ма док-на для смеш-й стр-гии p* игрока А. Ан-но q* игрока В. На основании данной теор-мы плат матрицу игры, имеющую отриц числа можно преобразовать в матр-цу с полож числами.

45. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Пусть имеем матричную игру размерности mxn:

а₁₁ а₁₂ … а_1n

а₂₁ а₂₂ … а_2n

. . . . . . . . . . .

а_m1 а_m2 … а_mn

Обозначим через p*и q*оптимальные смешанные стратегии игроков А и В Оптимальная смешанная стратегия p* игрока A гарантирует ему выигрыш не меньше V независимо от того, какую из чистых стратегий выбирает игрок В

а₁₁p₁*+ а₁₂p₂*+ … + а_1np_m* >=V

а₂₁p₁*+ а₂₂p₂*+ … + а_2np_m* >=V где р_i*>=0, i = 1,m ∑(i=1,m)p_i*=1(1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а_m1p₁*+ а_m2p₂*+ … а_mnp_m* >=V

Оптимальная смешанная стратегия q* гарантирует игроку В проигрыш не больше цены игры V не зависимо от выбора чистой стратегии игроком А

а₁₁q₁*+ а₁₂q₂*+ … + а_1nq_m* <=V

а₂₁q₁*+ а₂₂q₂*+ … + а_2nq_m* <=V где q_j*>=0, j = 1,n ∑(j=1,m)p_j*=1 (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а_m1q₁*+ а_m2q₂*+ … а_mnq_m* <=V

Cогласно теореме 5 все компоненты платежной матрицы можно сделать положительными, значит V>0 Преобразуем (1) и (2) разделив обе части на V и введем обозначение _i , i = 1,m , _{j ,} j = 1,n

а₁₁x₁+ а₁₂x₂+ … + а_1nx_m >=1

а₂₁x₁+ а₂₂x₂+ … + а_2nx_m >=1 где x_i>=0, i = 1,m ∑(i=1,m) x_i =1/V (3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а_m1x₁+ а_m2x₂+ … а_mnx_m >=1

Аналогично:

а₁₁y₁+ а₁₂y₂+ … + а_1ny_m >=1

а₂₁y₁+ а₂₂y₂+ … + а_2ny_m >=1 где y_j>=0, j = 1,n ∑(i=1,n) y_j =1/V (4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а_m1y₁+ а_m2y₂+ … а_mny_m >=1

так как игрок А стремится максимизировать цену игры V, то тогда обратная величина 1/V будет минимизироваться, следовательно оптимальная стратегия игрока А находится из задачи

Min f = x₁+x₂+…+x _m ограничения (3)

Аналогично рассуждая оптимальную стратегию игрока В найдем из задачи

Max ψ=y₁+y₂+…+y_n Ограничения (4)

Решив эти задачи мы сможем определить

V=1/f*=1/ ψ*

р_i*=v x_i*, i = 1,m

q_j*= v y_j* , j = 1,n

46. Игры с природой. Понятие риска сиатистика. Матрица рисков.

Управление экономич. Процессами и явлениями осуществляется путем последовательно принимаемых решений. В случае отсутствия достаточно полной информации возникает неопределенность в принятии решений. С целью уменьшения неблагоприятных последствий в каждом конкретном случае следует учитывать степень риска. В этом случае лицо принимающее решение – статистик вступает в игровые отношения с некоторым абстрактным лицом, которое будем называть «природой»

Под «природой» будем понимать совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность приним. Решений.

Статистик должен уметь находить управл. Реш., когда природа не выбирает свои оптимальные стратегии . Но иногда мы располагаем вероятностными характеристиками состояния природы. Такого рода ситуации принято называть «играми с природой»

Множество стратегий статистика будем обозначать через А, а отдельные стратегии через А_i €A , i = 1,m .

Множество состояний природы будем обозначать через П, а отдельные состояния П_j€П , j = 1,n

Во взаимоотношения с природой статистик может использовать любую из стратегий в зависимости от состояния природы. Причем статистик, когда определяет какую стратегию ему выбрать руководствуется некоторым поведением , которое и будет являться оптимальной стратегией .При этом статистик может пользоваться как частными так и смешанными стратегиями.

Обозначим платежную матрицу игры с природой через

а₁₁ а₁₂ … а_1n

а₂₁ а₂₂ … а_2n

. . . . . . . . . . .

а_m1 а_m2 … а_mn ,

где каждый элемент а_ij , i = 1,m , j = 1,n называется выигрышем статистика, если он примет стратегию Аi при состоянии природы Пj.

При анализе игры с природой вводится также показатель позволяющий оценить насколько то или иное состояние природы влияет на исходную систему. Этот показатель называется риском.

Риском r_ij , i = 1,m , j = 1,n статистика, когда он пользуется чистой стратегией Аi при состоянии природы Пj, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, достоверно зная, что природа будет реализована именно состоянием Пj, и тем выигрышем Аij, который он получит используя стратегию Аi, не зная какое из состояний природа действительно реализует.

R_ij = max a_ij , a_ij>=0, i = 1,m , j = 1,n