42. Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Теорема о необходимом и достаточном условии смешанных стратегий

Смешанной стратегией игрока А( или B) наз-ся вектор p=(,,.., ), 0,i=1,m; =1 (q=(,…),,j=1,n, =1). Т.к. игроки А и B выбирают свои чистые стр-гии случайно и нез-мо друг от друга, т.е. игрок А выб.cтр-гию Аi с вер-тью , а игрок B выб-т стр-гию Bj с вер-ю, след-но вер-ть комбинации (Аi,Bj)=piqj. Зн-т, случ-й будет и вел-на выигрыша игрока А(проигрыша B). Мы будем вести речь о ср.вел-не(мат.ожидании), кот-е явл-ся ф-цией от смешанных стр-гий и опред-ся по ф-ле: f(p,q)=

Смешанная стр-гия наз-ся оптимальной, если для произв-х стр-гий p=(,,.., ), q=(,…) вып-ся след. Нер-во f(p,q*)f(p*,q*)f(p*,q) (1)

Из посл-го нер-ва сл-т, что в седловой точке (p*,q*) платежная ф-ция f(p,q) достигает макс-ма по смеш-м стр-ям p и мин-ма по смеш-м стр-ям q. Знач-я плат-й ф-ции при оптим-х смеш-х стр-гиях и опред-ет цену игры: V=f(p*,q*)

Теорема 2: В смеш-х стр-гиях любая конечная матр-я игра имеет седловую точку.

Теорема 3: Для того, чтобы смеш-е стр-гии p* u q* игр-в А и B в игре с матрицей [aij] разм-ью mxn и ценой игры V были оптим-ми необ-мо и достаточно вып-е нер-в pi*V, j=1,n (2) ; qj*V, i=1,m (3)

Док-во: пусть p* и q* опт-е смеш-е стр-гии, покажем что для них будут вып-ся (2) и (3). Восп-ся опр-ем опт-х смеш-х стр-гий для кот-х вып-ся ф-ла (1). Запишем ее в развернутой форме: V (4)

В правую часть (4) подст-м вектор qj=(0,…,0,1,0,…,0), получим: =V. Что и док-ет, что опт-я смеш-я стр-гия p* удовл-ет нер-ву (2)

Дост-ть: Пусть вып-ся нер-ва (2) и (3). Докажем, что p* и q* опт-е смеш-е стр-гии, т.е. имеет место соотношение (4), док-м, что из нер-ва (2) след-ют правая часть (4), пусть q=(,…) – произв-й вектор, тогда:=V=V.

Итак,V, а это и есть правая часть соотн-я (4). Аналог-но док-ся, что из нер-ва (3) след-т левая часть соотн-я (4). Т.о. из теоремы след-т:

Если игрок А прим-т свою опт-ю смеш-ю стр-ю p*, а игрок B любую чистую стр Bj, то выигрыш игрока А будет не меньше цены игры V.

Если игрок B прим-т свою любую чистую опт-ю смеш-ю стр q*, а игрок А любую чистую стр Ai, то проигрыш игрока B не превысит цены игры V.

Чистые стр. наз-ся активными.

43.Теорема о преобразованиях эл-ов платежной матрицы

Т-ма: Если один из игроков придерж-ся своей смеш. опт. стр., то его выигрыш ост-ся пост-м и равен цене игры нез-мо от того какую стр-гию прим-т др. игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стр-гий.

Док-во: Пусть набор (p*,q*,V) явл-ся решением матр-й игры . При этом игрок А имеет r акт-х стр-гий, а игрок B имеет k ак-х стр-гий. Планируем чистые стр-гии игроков так, чтобы ак-е оказались первыми, получим:p*=(,,0,…,0), где,q*=(,,0,…,0), где. Пусть игрок А прид-ся своей опт-й смеш-й стр-гии p*, а игрок B чистой стр-гии. Тогда, согласно теореме 3 пол-м:V, j=1,k (5)

Если игроки А и B исп-т свои опт-е смеш-е стр-гии, то выигрыш игрока А равен цене игры , где V=*. Учит-я нер-во (5) пол-м: V=*=*V=V. Посл. соотношение выполнимо лишь тогда, когда нер-во (5) превращ-ся в рав-во. Отсюда можно сделать вывод, что для любой смеш-й стр-гии q*=(,,0,…,0) будет вып-ся рав-во: V=,что и док-т теорему.