5.Коэф-т корреляции

Перейдем к оценке тесноты коррел. зав-ти.

Подставим в знач. b₀ из b₀=yˉ-b₁xˉ в y_i^{^}=b₀+b_1xi, i=1,n.

Получим: y_i^{^}=yˉ-b₁xˉ+b₁x_i, y_i^-yˉ=b₁(x_i-xˉ), i=1,n

Коэф-т b₁ наз. коэф-том регрессии Y по X, кот. пок-ет насколько единиц в среднем изменяется переменная Y при изменении перем-ой X на 1ед.

В кач-ве пок-ля тесноты связи коэф-та регрессии b₁ использовать не рекоменд-ся, т.к. он зав-т от ед-ц измерения, поэтому д/оц-ки тесноты связи исп-ются ср. квадратич. отклон-ие.Коэф-т b₁ м. вычислить по ф-ле:

b₁=(xy^―-x^–y^–)/(x^2–-x^–2)=S_xy /S²_x, где S_xy=xy^―-x^–y^– – выборочная ковариация (совместное изменение).

S_x=√D=√(x^2–-x^–2) – выборочное ср. квадратич. отклонение.Тогда м. записать:

b₁=S_xy/(S_x·S_y)·S_y/S_x=r_xy(S_y/S_x), где r_xy=S_xy/(S_x·S_y) – выборочный коэф-т коррел., хар-ет тесноту лин. зав-ти м/д случ. величинами.Для практич. расчетов коэф-т коррел. лучше использ-ть ф-лу:

r_xy=(nΣx_iy_i-Σx_iΣy_i)/√(nΣx²_i-(Σx_i)²)·√(nΣy²_i-(Σy_i)²).

Коэф-т коррел. изменяется в пределах -1≤r_xy≥1

Если коэф-т кор. =0, то это зн., что случ. величины Х и У некоррелированные, если r_xy≠0, то тогда случ. величины Х и У наз. коррелировнные. Если r_xy=1 (строго), то в этом сл. говорят, что имеет место полная прямая коррел-я.

Если r_xy≠1 – полная обратная коррел.

Если 0<r_xy<1, то коррел. наз. положительной, это зн., что с возрастанием одной перем-ой вторая т-же возрастает.

Если -1<r_xy<0 – отрицательная.

Чем ближе коэф-т коррел. к ±1, тем сильнее лин. зав-ть.

6.Предпос. М-да наим. Квадратов. Т. Г-м

Регрессионный анализ позволяет опр-ять b₀ и b₁ коэф-тов регрессии ß₀ и ß₁. Являясь оценками, они не позволяют сделать вывод: -насколько близки оц-ки коэф-тов к своим теорет-ким коэф-м; -насколько надежны найденные оц-ки; -как близко оцененное значение y_i^{^} к своему мат. ожиданию М(У/х_i); -насколько точно эмпирическое ур-ние регр-и соотв-ет ур-ию для всей генер. совок-ти.

Из соотн-ия y_i=ß₀+ß₁x_i+έ_i, i=1,n следует, что значения у_i зависит от знач-ий x_i и случ.откл-ий έ_i => переменная У явл.случ.величиной, кот. Напрямую связана с έ_i. Это зн., что пока не будет определенности в вероят-ном поведении έ_i мы не сможем быть уверенными в кач-ве оценок.

Покажем, что оц-ки коэф-тов b₀ и b₁ т-же явл. случ. величинами, зависящими от случ.члена έ_i в ур-ии регр-и. Из ф-лы b₁=Sxy/S²_x следует, что коэф. b₁ явл.случ-ым, т.к. значение выборочной ковариации зав-ит от того, какие знач. прин-ют переменные Х и У.Если Х это экзагенный ф-р, знач. которого известны, то У зав-ит от случ. члена έ_i.

Теорет-ки коэф. b₁ м. разложить на неслуч. и случ. составляющую: S_xy=cov(X,Y)=cov(X,ß₀+ß₁X+έ)= =cov(X,ß₀)+cov(X,ß₁X)+cov(X,έ)=ß₁S²_x+S_xέ

Тогда b₁=(ß₁S²_x+S_xέ)/S²_x=ß₁+(S_xέ/S²_x)

Из последней ф-лы видно, что b₁ предст. собой Σ β₁ (истинное зн. коэф-та коррел.) и величины S_x2/S²_x, кот. явл. случ. величиной.

Математич. доказано, что для получения МНК наилучших оценок необх-мо чтобы выполнялись предпосылки Гауса-Маркова относит-но случ. отклон-ий:

1- мат.ожид.случ.отклонения для всех наблюдений =0. M(έ_i)=0, i=1,n. Это озн-ет, что случ.откл-ие в среднем не оказывает влияние на зав-ую перем-ую;

2- дисперсии случ.откл-ий явл. постоянной велич. для любых наблюдений: Д(έ_i)=Д(έ_j)=σ², М(έ_i) – ср. знач., Д(έ_i)=M(έ_i-M(έ_i))², ср. квадр. отклон-ие σ=√Д и т.д. Выполнимость данного усл. наз. гомоскедастичностью.

А невып-мость – гетероскед-ностью;

3- случ. откл-я έ_i и έ_j явл. незав-ыми др. от друга для i≠j, т.е. не коррел-ные. Выполнимость указывает на отсутствие автокоррел-ии;

4- случ. откл.д.б.незав-мо от экзагенных перем-х.Проверка–M(έ_ix_i)=0;

5- модель д.б. линейной относит-но параметрам.

Теорема Г.-М. Если выполнение предпос. 1-5, то оц-ки, полученные по МНК, явл.:

1. несмещенными, это зн., что ср. зн. оценки b₀…→M(b₀)=β₀, M(b₁)=β₁

2. оц-ки явл. состоятельными, это зн., что и к дисперсии при возраст.числа наблюдений стремятся к 0. Д(b₀)→0 (под стрелой n→∞), Д(b₁)→0 (под стр. n→∞)

3. оц-ки явл. эф-ыми, зн., что они имеют наим-ую Д по сравн. с любыми др. оц-ми.