ТЕСТИ_ЗНО_МАТЕМ

ТЕМА 30. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Завдання 30.1–30.32 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

30.1.Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 18° більший від іншого. Знайти більший з цих кутів.

А	Б	В	Г	Д
66°	68°	36°	54°	48°

30.2.Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b (a > b). Визначити довжину медіани, проведеної до меншого катета.

А	Б		В	Г	Д
a2 − b2	a2 + b2	1	a2 + b2	a2 + b2	a2 + b2
2	2	2		4	4

30.3.Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а медіана, що проведена до нього, дорівнює 8 см. Знайти інший катет трикутника.

А	Б	В	Г	Д
8 см	2 7 см	4 5 см	12 см	8 5 см

30.4.Один з катетів і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 5 см і 13 см. Знайти площу трикутника.

А	Б	В	Г	Д
65 см2	32,5 см2	30 см2	60 см2	130 см2

30.5.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 60 см і 80 см. Знайти висоту трикутника, проведену до гіпотенузи.

А	Б	В	Г	Д
24 см	36 см	48 см	56 см	96 см

30.6.Катет та гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 10 см і 26 см. Знайти проекцію цього катета на гіпотенузу.

А	Б		В		Г	Д
8 см	5,2 см	7	8	см	2,6 см	311	см
		13				13

30.7.У прямокутному трикутнику довжини катетів відносяться як 4 : 3. Обчислити косинус найменшого кута трикутника.

А	Б	В	Г	Д
0,6	0,8	0,75	0,9	0,5

30.8.Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, у якого висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 6 3 см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу дорівнює 6 см.

		А		Б	В			Г	Д
		12 см		18 см	24 см			28 см	32 см
	30.9. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює						2	. Обчислити площу круга, описа-
						5
		ного навколо трикутника.
		А		Б	В			Г	Д
		π		4π	4π			5π	π2
		5			5

221

30.10.Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює b, а протилежний до нього кут — β. Визначити радіус кола, описаного навколо трикутника.

А

Б

В

Г

Д

b

b

bsinβ

2b

2b

2sinβ

2cosβ

sinβ

cosβ

2

30.11.Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює α. Визначити катет, прилеглий до цього кута, якщо радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює r.

А		Б			В			Г		Д
	α		α		+ ctg	α		+ tg	α		α
r tg	2	r ctg	2	r 1		2	r 1		2	2r ctg	2

30.12.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник.

А	Б	В	Г	Д
4 см	2 см	8 см	8,5 см	6 см

30.13.Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює 1 дм. Знайти площу цього трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює 5 дм.

А	Б	В	Г	Д
7 дм2	8 дм2	9 дм2	10 дм2	6 дм2

30.14.У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює α, а висота, що проведена до гіпотенузи, дорівнює h. Визначити площу трикутника.

	А		Б	В		Г			Д
	h2		2h2 sin 2α	h2 sin 2α		h2			h2
	2sin α					2sin 2α			sin 2α

30.15.Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 1 : 2. Знайти відношення протилежних їм катетів.

А	Б	В	Г	Д
1 : 2	1 : 3	1 : 2	1 : 3	1 : 5

30.16.Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а гіпотенуза дорівнює 20 см. Знайти менший з відрізків, на які поділяє гіпотенузу бісектриса прямого кута.

А			Б		В	Г	Д
8 4	см	6	5	см	6 см	5 см	4 2	см
7		12					7

30.17.Бісектриси двох кутів прямокутного трикутника утворюють при перетині кут 79°. Знайти менший гострий кут трикутника.

А	Б	В	Г	Д
11°	17°	22°	34°	44°

30.18.У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 27°. Знайти кут між бісектрисою і висотою трикутника, проведеними з вершини прямого кута.

А	Б	В	Г	Д
8°	16°	32°	28°	18°

30.19.У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 32°. Знайти кут між висотою і медіаною, проведеними з вершини прямого кута.

А	Б	В	Г	Д
32°	26°	36°	33°	23°

222

30.20.Довжини катетів прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Визначити довжину медіани, проведеної до гіпотенузи.

А	Б	В	Г	Д
13 см	6,5 см	6 см	15 см	8,5 см

30.21.Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює 20 см, а довжина одного з катетів — 16 см. Знайти інший катет трикутника.

А	Б	В	Г	Д
6 см	16 41 см	12 см	18 см	2 89 см

30.22.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 45° бісектриса прямого кута дорівнює 7 см. Знайти гіпотенузу трикутника.

	А	Б	В			Г	Д
	7 см	14 см	7 2 см		14 2 см		7 3 см
30.23. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює					12	см. Обчислити довжину кола,
	описаного навколо цього трикутника.				π
	А	Б	В			Г	Д
	12 см	9 см	6π см			12π см	36 см
							π

30.24.Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює 17 см, а один із катетів — 8 см. Знайти інший катет.

А	Б	В	Г	Д
10 см	14 см	12 см	15 см	16 см

30.25.Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює 5 см, а один з катетів — 6 см. Обчисліть довжину іншого катета.

А	Б	В	Г	Д
7 см	8 см	9 см	10 см	11 см

30.26.Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 25 см, один із катетів — 30 см. Знайти довжини відрізків, на які ділить гіпотенузу висота, проведена до неї.

А	Б	В	Г	Д
16 см і 34 см	20 см і 30 см	24 см і 26 см	18 см і 32 см	12 см і 13 см

30.27.Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на відрізки у відношенні 3 : 4. У якому відношенні ділить гіпотенузу висота?

А	Б	В	Г	Д
3 : 4	3 : 2	9 : 16	2 : 3	1 : 2

30.28.Площа прямокутного трикутника дорівнює 30 см2, а довжина одного з катетів — 12 см. Обчислити довжину іншого катета.

А	Б	В	Г	Д
6 см	5 см	10 см	2,5 см	15 см

30.29.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 16 см. Знайти висоту трикутника, опущену на гіпотенузу.

А	Б	В	Г	Д
18 см	20 см	19,2 см	4,8 см	9,6 см

223

30.30.Знайти площу прямокутного трикутника, у якого бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 8 см.

А	Б	В	Г	Д
32 см2	16 см2	57,6 см2	28,8 см2	14,4 см2

30.31. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Якою найбільшою може бути площа трикутника?

А	Б	В	Г	Д
75 см2	100 см2	50 см2	25 см2	12,5 см2

30.32.На сторонах прямокутного трикутника АВС ( С = 90°) побудовані квадрати. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює 400 см2, а різниця площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює 112 см2. Знайти площу трикутника.

C	S1
S2

AB

400 см2

А	Б	В	Г	Д
168 см2	84 см2	96 см2	192 см2	48 см2

Завдання 30.33–30.39 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків(цифри) і колонок(букви).

30.33.На рисунку зображено прямокутний трикутник ABC ( С = 90°), його висоту CH, медіану CM і позначено величини деяких його елементів. Установити відповідність між елементами трикутника (1–4) та їхніми величинами (А–Д).

					H	B
			M			5
		A	20°			C
1	MCH		А		5
2	CMH				2sin 20°
			Б
3	СM			5sin20°
			В	50°
4	СH
			Г	5sin70°
			Д 40°

224

30.34.У прямокутному трикутнику АВС ( С = 90°) проведено бісектрису СK та висоту СH. Установити відповідність між значеннями кута при вершині А (1–4), розміщеній зі сторони бісектриси, і кутом KСH (А–Д).

	C
A	K H	B

1	8°	А 27°
2	32°	Б	33°
3	28°	В	37°
4	18°	Г	13°
		Д 17°

30.35.Зовнішній кут при вершині А прямокутного трикутника АВС ( С = 90°) дорівнює 110°. Установити відповідність між задачами (1–4) та відповідями до них (А–Д).

1Знайти кут між більшим катетом і медіаною СМ, проведеною до гіпотенузи

2Обчислити кут між бісектрисою СL та висотою CH

3Знайти кут між медіаною CМ і бісектрисою більшого гострого кута трикутника

4Обчислити кут між медіаною СМ та висотою СН

А 75°

Б 65°

В 20°

Г 25°

Д 50°

30.36.Установити відповідність між катетами а й b (1–4) прямокутних трикутників і значеннями гострого кута, протилежного до катета а (А–Д).

	1	2	см, 2 см			А	22,5°
	2	1	см,	3 см		Б	45°
	3		3 см, 1 см			В	60°
						Г	90°
	4	2 −		2 см,	2 см
						Д 30°

30.37.Дано прямокутний трикутник, у якому С = 90°, ВС = 3 см, АС = 4 см. Установити відповідність між задачами (1–4) та відповідями до них (А–Д).

1	Знайти висоту, проведену до гіпотенузи	А	1 см
2	Обчислити проекцію катета АС на гіпотенузу	Б	2 см
3	Знайти радіус кола, вписаного в трикутник	В	3,2 см
4	Обчислити відстань від вершини В до точки дотику з	Г	3 см
	гіпотенузою вписаного в трикутник кола	Д 2,4 см

30.38.Установити відповідність між довжинами гіпотенуз і катетів (1–4) прямокутних трикутників і їх площами (А–Д).

1	5 см, 3 см	А	84 см2
2	13 см, 5 см	Б	6 см2
3	10 см, 8 см	В	24 см2
4	25 см, 7 см	Г	48 см2
		Д 30 см2

225

15* Капіносов А. Математика. Тести для підготовки до ЗНО

30.39. Установити відповідність між задачами (1–4) та відповідями до них (А–Д).

1	Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорів-			А	60 см2
	нює	16	см. Знайти площу круга, описаного навколо	Б	216	см2
		π		В	150	см2
	цього трикутника			Г	192	см		2
2	Медіана та висота прямокутного трикутника, прове-
				Д	64 см		2
	дені до гіпотенузи, дорівнюють 12 см і 5 см. Знайти

площу трикутника

3У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки 8 см і 10 см. Обчислити площу трикутника

4У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см і ділить її на відрізки у відношенні 16 : 9. Обчислити площу трикутника

Розв’яжіть завдання 30.40–30.69. Відповідь запишіть десятковим дробом.

30.40.Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника утворює з протилежною стороною кути, один з яких дорівнює 70°. Знайти у градусах менший гострий кут трикутника.

30.41.Катети прямокутного трикутника відносяться як 2 : 1, а гіпотенуза дорівнює 5 5 см. Знайти у сантиметрах більший катет.

30.42.У прямокутному трикутнику катети менші за гіпотенузу на 8 см і 4 см. Знайти в сантиметрах периметр трикутника.

30.43.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 см і 20 см. Знайти в сантиметрах радіус кола, описаного навколо трикутника.

30.44.Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його гіпотенуза — 20 см. Знайти найменшу медіану трикутника.

30.45.У трикутнику АВС ( С = 90°) СВ = 20 см, tg B = 2,4. Знайти в сантиметрах довжину медіани, проведеної з вершини прямого кута трикутника.

30.46. Відношення катетів прямокутного трикутника дорівнює 0,75, а різниця квадратів катетів — 7 см. Знайти в сантиметрах медіану, проведену до гіпотенузи.

30.47. Катет прямокутного трикутника дорівнює 28 см, різниця двох інших його сторін дорівнює

8см. Знайти у сантиметрах гіпотенузу.

30.48.У прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені до гіпотенузи, відповідно дорівнюють

24см і 25 см. Знайти у сантиметрах периметр трикутника.

30.49.У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а тангенс прилеглого кута дорівнює 5 . Знайти

6

квадрат довжини гіпотенузи.

30.50.Проекції катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнюють 4 см і 21 см. Знайти у сантиметрах менший катет.

30.51.У прямокутному трикутнику АВС до гіпотенузи АВ проведено висоту CD. Площа трикутника BCD дорівнює 16 см2, а площа трикутника ACD — 4 см2. Знайти (у сантиметрах) гіпотенузу трикутника АВС.

30.52. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а проекція іншого катета на гіпотенузу дорівнює 4 см. Знайти у сантиметрах гіпотенузу.

30.53.Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, ділить її на відрізки 16 см і 9 см. Обчислити в сантиметрах квадратних площу трикутника.

30.54. Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 10 см. Знайти у квадратних сантиметрах площу трикутника.

226

30.55.Точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу прямокутного трикутника на відрізки, один з яких на 2 см менший від іншого. Знайти площу трикутника (у см2), якщо радіус вписаного кола дорівнює 2 см.

30.56.Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а синус гострого кута трикутника дорівнює 0,8. Знайти в квадратних сантиметрах площу трикутника.

30.57.Площа прямокутного трикутника дорівнює 150 см2, а котангенс більшого гострого кута трикутника дорівнює 0,75. Знайти в сантиметрах радіус кола, вписаного у трикутник.

30.58.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 16 см, а гіпотенуза — 20 см. На які відрізки, рахуючи від вершини прямого кута, поділяє сторону трикутника бісектриса меншого гострого кута трикутника. У відповідь записати в сантиметрах потроєну довжину більшого з них.

30.59.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 21 см і 28 см. Знайдіть відстань між основами медіани і бісектриси, проведених з вершини прямого кута.

30.60. Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і

6 см. Знайти у сантиметрах радіус вписаного кола.

30.61.Периметр прямокутного трикутника дорівнює 80 см, а його площа дорівнює 240 см2. Знайти (у сантиметрах) діаметр описаного кола.

30.62.Знайти у квадратних сантиметрах площу прямокутного трикутника, якщо його висота ділить гіпотенузу на відрізки 18 см і 32 см.

30.63.Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на відрізки, що дорівнюють m і n. Визначити висоту, проведену з вершини прямого кута й обчислити її значення,

якщо m = 3, n = 4.

30.64.У прямокутному трикутнику висота і бісектриса, проведені з вершини прямого кута, відповід-

но дорівнюють h і l. Визначити площу трикутника й обчислити її значення, якщо h = 0,5, l = 0,7.

30.65.У прямокутний трикутник вписано коло радіуса r. Визначити синус меншого гострого кута трикутника, якщо довжина гіпотенузи 5r.

30.66.Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює h, а відстань

від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси меншого гострого кута з меншим катетом дорівнює d. Визначити довжину меншого катета й обчислити її значення, якщо h = 7,

d = 5.

30.67.У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а гіпотенуза — 13. Знайти квадрат довжини бісектриси трикутника, проведеної з вершини меншого кута.

30.68.Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника дорівнює 19,5 см, а один із катетів — 36 см. Знайти в сантиметрах інший катет трикутника.

30.69.Від високої тополі падає тінь завдовжки 9 м, а від вертикальної жердини завдовжки 2 м — тінь завдовжки 1,2 м. Знайти висоту тополі.

227

ТЕМА 31. РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК

Завдання 31.1–31.31 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

31.1.Знайти периметр рівнобедреного трикутника зі сторонами 3 см і 7 см.

	А	Б	В	Г	Д
	20 см	10 см	13 см	17 см	17 см або 13 см
31.2. У рівнобедреному трикутнику АВС кут С дорівнює 104°. Знайти кут В.
	А	Б	В	Г	Д
	66°	76°	38°	28°	48°

31.3. Кут при основі рівнобедреного трикутника в 4 рази більший за кут при вершині. Знайти кут при вершині трикутника.

А	Б	В	Г	Д
20°	40°	15°	120°	30°

31.4.Знайти площу рівнобедреного трикутника, у якого бічна сторона дорівнює 4 2 см, а кут між бічними сторонами дорівнює 30°.

А	Б	В	Г	Д
8 2 см2	16 3 см2	8 3 см2	16 см2	8 см2

31.5.У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 10 см, а висота, що проведена до основи, — 6 см. Знайти площу трикутника.

А	Б	В	Г	Д
48 см2	24 см2	96 см2	30 см2	60 см2

31.6.Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см2, а довжина його основи — 6 см. Знайти довжину бісектриси, проведеної до основи.

А	Б	В	Г	Д
6 см	3 см	8 см	4 см	2 см

31.7.Бічна сторона та висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, відносяться як 5 : 3. Основа трикутника дорівнює 64 см. Знайдіть периметр трикутника.

А	Б	В	Г	Д
112 см	144 см	192 см	48 см	96 см

31.8.У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, поділяє її на відрізки 8 см і 2 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайти площу трикутника.

			B
			8
	D
	2
	A			C
А	Б		В		Г	Д
78 см2	64 см2		60 см2		30 см2	32 см2

228

31.9.У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 6 см, а радіус кола, описаного навколо трикутника, — 5 см. Знайти висоту, проведену до основи.

				B
				5
		5			O
		A				6	C
				D
	А	Б				В			Г	Д
	8 см	9 см				10 см			11 см	12 см
31.10. Довжина середньої лінії рівнобедреного трикутника,								паралельної до основи, дорівнює 2 см.
	Обчислити довжину бічної сторони цього трикутника, якщо його периметр дорівнює 16 см.
	А	Б				В			Г	Д
	7 см	6 см				5 см			4 см	8 см
31.11. Довжина середньої лінії рівнобедреного трикутника,								паралельної до його основи, дорівнює
	4 см. Обчислити довжину бічної сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см.
	А	Б				В			Г	Д
	13 см	22 см				8 см			11 см	14 см

31.12.У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює α, а радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює r. Визначити бічну сторону трикутника.

B

	K	r
		O
	A	D	C
А	Б	В	Г	Д
rsin α cosα	r tg α cosα	r tg α	r ctg α cosα	r ctg α
		2		2
2	2	cosα	2	cosα

31.13. Знайти висоту рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 6 3 см.

А	Б	В	Г	Д
2 см	3 см	4 см	9 см	12 см

31.14. У рівносторонньому трикутнику медіана дорівнює 2 3 см. Обчислити сторону трикутника.

	А		Б		В	Г	Д
	4 см		4	см	16 см	3 см	4 3 см
		6

31.15. Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 2 3 см.

А	Б	В	Г	Д
3 см2	3 см2	3 3 см2	4 3 см2	2 3 см2

229

31.16.Обчислити радіус кола описаного навколо рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 8 3 см.

	А	Б		В		Г	Д
	6 см	4 3 см		8	см	8 см	24 см
			3

31.17.Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 12 см. Знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

А	Б	В	Г	Д
36 см	4 см	6 см	24 см	18 см

31.18.Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 4 3 см. Знайти сторону трикутника.

А	Б	В	Г	Д
12 см	16 см	24 см	36 см	48 см

31.19. Сторона правильного трикутника дорівнює 20 3 см. Знайти проекцію однієї медіани на іншу.

А	Б	В	Г	Д
15 см	20 см	30 см	40 см	10 3 см

31.20. У рівнобедреному трикутнику бісектриси кутів при основі утворюють при перетині кут 52°. Знайти кут між бічними сторонами трикутника.

B

	K		O	L
	A			C
А	Б		В		Г	Д
72°	74°		76°		78°	84°

31.21. О — точка перетину висот АМ і СK рівнобедреного трикутника АВС з основою АС. Знайти кут

В, якщо АОС = 110°.

B

	K		O	M
	A			C
А	Б		В		Г	Д
70°	80°		60°		50°	35°

31.22. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 55 см, а висота, що проведена до основи, — 44 см. Знайти відношення відрізків, на які поділяє бічну сторону бісектриса кута при основі.

А	Б	В	Г	Д
2 : 3	3 : 4	4 : 5	5 : 6	6 : 7

31.23.Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 8 3 см. Знайти радіус кола, яке проходить через середини сторін трикутника.

А	Б	В	Г	Д
2 см	8 см	4 см	4 3 см	2 3 см

230