ТЕСТИ_ЗНО_МАТЕМ

17.49. Розв’язати нерівність lg(x − 2) + lg(27 − x) < 2 . У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності.

17.50.Розв’язати нерівність lg x + 6logx 10 ≤ 5 . У відповідь записати кількість цілих розв’язків нерівності.

17.51.Розв’язати нерівність lg2 (− x) + lg x2 − 3 < 0 . У відповідь записати кількість цілих розв’язків нерівності.

17.52. Розв’язати нерівність lg2 100x − 5lg x > 6 . У відповідь записати кількість натуральних чисел, які не є розв’язками нерівності.

17.53.Знайти кількість цілих розв’язків нерівності 3log3 (2 x+ 3) < 6.

17.54.Розв’язати нерівність 9log32 x < 4xlog3 x − 3 . У відповідь записати суму всіх натуральних розв’язків нерівності.

17.55. Розв’язати нерівність log		2x		≤ 1	. У відповідь записати суму всіх цілих чисел, які не є
	2	x − 3
x				2

розв’язками нерівності.

17.56.Розв’язати нерівність log2 x (x2 − 5x + 6) < 1. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності.

17.57.Розв’язати нерівність logx 2 · log2 x 2 · log2 4x > 1. У відповідь записати найменше натуральне число, яке не є розв’язком нерівності.

17.58. Розв’язати нерівність (x − 5)2 x + 2·lg(x − 2)2 ≤ 0. У відповідь записати суму цілих розв’язків нерівності.

3x−1

17.59.Розв’язати нерівність x 2− x > 1. У відповідь записати найменше натуральне число, яке не є розв’язком нерівності.

17.60.Розв’язати нерівність lg(x − 6)2 ≤ 1. У відповідь записати кількість цілих розв’язків нерівності.

+24)x

17.61. Розв’язати нерівність	log 2	(5 − x )log x + 1 1 ≥ − 6 . У відповідь записати добуток усіх цілих
розв’язків нерівності.		8
17.62. Розв’язати нерівність	log2 (x2 − 2x − 7)5 − log3 (x2 − 2x − 7)8		≤ 0. У відповідь записати кількість
		3x2 − 13x + 4

проміжків, які утворює розв’язок нерівності.

	17.63. Розв’язати нерівність log|sin x| (x2 − 8x + 23) >	3	. У відповідь записати суму цілих
		log2 | sin x |
	розв’язків нерівності.

17.64. Розв’язати нерівність log1 x ≥ x − 1. У відповідь записати добуток усіх цілих розв’язків нерів-

2

ності.

17.65.Розв’язати нерівність logx 3x ≤ logx (3x7 ) . У відповідь записати добуток усіх натуральних чисел, які не є розв’язками нерівності.

17.66.Розв’язати нерівність xlg x−3 ≤ 0,01. У відповідь записати різницю найбільшого та найменшого розв’язків.

17.67. Розв’язати нерівність logx+1 x − 2 ≤ 1. У відповідь записати суму всіх натуральних чисел, які не

є розв’язками нерівності.

17.68.Розв’язати нерівність loga2 (x2 + 2x) < 1. У відповідь записати суму цілих значень параметра а, при яких нерівність не має розв’язку.

121

ТЕМА 18. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

Завдання 18.1–18.33 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

18.1.Розв’язати рівняння 2sinx = –1.

А

Б

В

Г

Д

	x = (−1)n	π	+ πn ,	x = (−1)n+1	π	+ πn ,	x = − π + πn,	x = (−1)n+1 π + πn , x = (−1)n+1 π + πn,
	12		2	12		2	4	6	2	6
	n Z			n Z			n Z	n Z		n Z

18.2.Розв’язати рівняння sinπx = 1.

А	Б	В	Г	Д
x = π + 2πn,	x = π2 + 2π2n,	x = π + πn,	x = 1 + n,	x = 1 + 2n,
2	2	2	2	2
n Z	n Z	n Z	n Z	n Z

18.3.Розв’язати рівняння sin2πx(tg2πx – 1) = 0. Скільки коренів рівняння належать відрізку [0; 1]?

А	Б	В	Г	Д
0	1	2	3	4

18.4.Розв’язати рівняння 2cos2x = − 2 .

	А			Б					В	Г	Д
			x = ± 3π + πn,						x = ± π + πn,	x = ± 3π + 2πn,	x = ± π + πn,
				8					8	4	4
				n Z					n Z	n Z	n Z
					π
18.5.	Розв’язати рівняння		3 tg	x +	6		= 1.
	А			Б					В	Г	Д
	x = πn,		x = π + πn,						x = − π + πn,	x = π + 2πn,	x = π + πn,
	n Z			6					3	6	4
				n Z					n Z	n Z	n Z
18.6.	Розв’язати рівняння			2x −	π		= 1.		У відповіді вказати найменший додатний корінь рівняння.
			2sin		3
	А			Б					В	Г	Д
	30°			45°					60°	90°	120°
18.7.	Розв’язати рівняння tg π(x − 6) =						1	. У відповіді вказати найменший додатний корінь рівняння.
							3
				6
	А			Б					В	Г	Д
	0			1					2	3	4

18.8.Розв’язати рівняння 5 − x2 · sin πx = 0. У відповіді вказати кількість його коренів.

А	Б	В	Г	Д
1	3	5	7	9

122

18.9.Розв’язати рівняння (ctg x)100 = 1 .

	А	Б	В	Г	Д
	x = − π + πn,	x = π + πn,	x = ± π + πn,	0	x = arcctg100 + πn,
	4	4	4		n Z
	n Z	n Z	n Z
18.10. Указати рівняння, яке має хоча б один корінь.
	А	Б	В	Г	Д
	cos x = π	arccos x = − π	arcsin x = π	arctg x = 2	arcctg x = 3
	3	3
18.11. Указати рівняння, яке має тільки один корінь.
	А	Б	В	Г	Д
	sin x = −1	cos x = −2	arctg x = 1	tg x = 1	cos x − 1 = 0
					sin x
18.12. Розв’язати рівняння sin2 x − sin x = 0 .
	А	Б	В	Г	Д
	x = πn,	x = πn, x = π + πn,	x = π + 2πn,	x = πn, x = − π + πn,	x = πn, x = π + 2πn,
	n Z	2	2	2	2
		n Z	n Z	n Z	n Z
18.13. Знайти корінь рівняння sin2x – 4cosx = 0, який належить проміжку [2π; 3π].
	А	Б	В	Г	Д
	7π	5π	9π	13π	7π
	3	2	4	6	4

18.14. Розв’язати рівняння cos2x – sin2x = 0,5. Скільки коренів рівняння належать проміжку [1; 6]?

А

Б

В

Г

Д

0

1

2

3

4

π

1

π

18.15. Розв’язати рівняння

sin 4

− x

=

2 cos 4

+ x .

У відповіді вказати найменший додатний ко-

рінь рівняння.

А

Б

В

Г

Д

π

π

π

π

π

12

6

4

3

2

18.16. Розв’язати рівняння tgx = ctgx.

А

Б

В

Г

Д

x =

π

+ πn,

x = −

π

+ πn,

x = ±

π

+ 2πn,

x =

π

+

πn

,

рівняння

4

4

4

4

2

коренів

n Z

n Z

n Z

n Z

немає

18.17. Розв’язати рівняння

cos x

= 0 .

sin x − 1

А

Б

В

Г

Д

x = − π + πn,

x = − π + 2πn,

x = π + 2πn,

x = πn,

x = π + πn,

2

2

2

n Z

2

n Z

n Z

n Z

n Z

123

18.18. Розв’язати рівняння			3 sin x − cos x = 0 .
	А		Б		В	Г	Д
	x = π + πn,		x = π + 2πn,		x = π + πn,	x = − π + πn,	x = π + πn,
	6		3		3	6	4
	n Z		n Z		n Z	n Z	n Z
18.19. Розв’язати рівняння cos2 x + 5cos x − 6 = 0 .
	А		Б		В	Г	Д
	x = π + 2πn,		x = ± arccos1+ πn,		x = 2πn, n Z,	x = πn,	x = 2πn,
					x = ±(π − arccos6) +
						n Z
	n Z		n Z		+2πk, k Z		n Z
18.20. Розв’язати рівняння sin x + cos x = −				2 .
	А		Б		В	Г	Д
	x = ± π + 2πn,		x = π + 2πn,		x = − 3π + 2πn,	x = 5π + πn,	x = arctg(− 2)+ πn,
	4		n Z		4	4	n Z
	n Z				n Z	n Z

18.21. Розв’язати рівняння sin3x – cos3x = 1. У відповіді вказати найменший додатний корінь рівняння.

	А		Б	В	Г	Д
	π		π	π	π	π
12			6	4	3	2

18.22.Розв’язати рівняння cos2x + cos22x + cos23x = 1. У відповіді вказати найменший додатний корінь рівняння.

А

Б

В

Г

Д

π

π

π

π

π

8

6

4

3

2

18.23. Розв’язати рівняння sin x2

= 0 .

А

Б

В

Г

Д

πn, n N

0

{0} { 2πn, n N}

− 2πn, n N

{0} {± πn, n N}

2 π

1

18.24. Розв’язати рівняння sin

4 − x

= 2

. У відповіді вказати кількість коренів на відрізку [0; π].

А

Б

В

Г

Д

0

1

2

3

4

18.25. Розв’язати рівняння tg

x = −1.

А

Б

В

Г

Д

π

2

= −

π2

+ π

2 2

π

2

=

π2

+ π

2 2

π

x = 4

+ πn

,

x

16

n ,

x =

− 4

+ πn

,

x

16

n ,

4

x = − + πn,

n N

n N

n N

n N

n N

18.26. Розв’язати рівняння 2

3 cos3 x = 9sin2 x. У відповіді вказати кількість коренів, які належать

відрізку [0; 7].

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

4

5

124

18.27. У якому вигляді можна подати розв’язок рівняння cos(πx) = x2 − 4x + 5 ?

А

Б

В

Г

Д

logπ π

2

logπ π

logπ

π

log 1 π

logπ π

3

2

π

18.28. Розв’язати рівняння cos(cos x) = 1 .

А

Б

В

Г

Д

x = π + πn,

x = ± arccos(2πn) +

x = 2πn,

x = ± π + 2πn,

2

+2πn, n Z

n Z

n Z

n Z

18.29. Розв’язати рівняння sinx + sin|x| = 0.

А

Б

В

Г

Д

πn, n Z

0

(–∞; 0]

(−∞; 0 {πn, n N}

(−∞;0

π +πn,n Z

]

]

{

2

}

18.30. Розв’язати рівняння |cosx| = cosx + 2sinx.

А

Б

В

Г

Д

x = 2πn,

x = πn,

x

= π

n

x

= −

π

+

x

= π

n

x

= −

π

+

x

n

,

x

=

3π

+

n Z

,

4

,

4

= 2π

4

n Z

+2πk, n, k Z

+πk, n, k Z

+2πk, n, k Z

18.31. За якого найменшого значення параметра а рівняння 2cos4x = a – 5 має корені?

А

Б

В

Г

Д

–3

0

3

1

–1

18.32. Розв’язати рівняння cos2x = a – 1 з параметром а. У відповіді вказати кількість цілих значень параметра а, за яких рівняння має розв’язки.

	А	Б	В	Г	Д
	0	1	2	3	4
18.33.
	Знайти всі значення	а, за яких рівняння	(a + 2)sin x = a2 −	4 має корені.
	А	Б	В	Г	Д
	а (1; 3)	а R	а ≠ 2	а {–2} [1; 3]

Завдання 18.34–18.48 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків(цифри) і колонок(букви).

18.34.Установити відповідність між заданими рівняннями (1–4) та множинами їх розв’язків на про-

міжку [0; 2π] (А–Д).

1	sin 2x = 0	А {0; 2π}
2	2 cos x = 2	Б {0; π ; π; 3π ; 2π}
3	cos 2x = 0
	1	2			2
		В {0; π4 ; π2 ;				3π		;π}
4	tg 2 x = 1
						4
		Г {π }
		2
		Д { π ;	3π	;	5π		;		7π	}
					4
		4	4					4

125

18.35. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та множинами їх розв’язків (А–Д).

1	π		= a,		a		≤ 1
	sin 2	− x

2 sin x cos x = a

2

3sin x = a cos x

4tg 3π − x = a

2

А ± arccos a + 2nπ, n Z

Б arctg a + nπ, n Z

В arcctg a + nπ, n Z

Г (−1)n arcsin a + nπ, n Z

Д (−1)n 1 arcsin a + nπ , n Z 2 2

18.36. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

	1	2sinx = 1					А x = (−1)k		π	+ πn, n Z
	2	sin2x = 1						12
	3	sin	x		= 1		Б x = (−1)k		π + πn, n Z
		2						6
	4	2sin		x		= 1	В x = (−1)k		π + 2πn, n Z
		2						3

Г x = π + πn, n Z

4

Д x = (4n + 1)π, n Z

18.37.Установити відповідність між рівняннями (1–4) та кількістю їх коренів на відрізку [0; 2π] (А–Д).

1	sin2x = 0				А	жодного
2	sin 2x = − 1				Б	один
	2				В два
3	sin		x	= 1	Г чотири
					Д п’ять
	8
4	sin		x	= 1

42

18.38.Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх найбільшими коренями (А–Д) на проміж-

ку (0°; 180°).

	1	sin 2x = −		3		А 90°
						Б 45°
			2
	2	cos x =	2			В 30°
						Г 150°
			2
						Д
	3	cos2x = –1
	4	ctg x = 3

18.39. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх найменшими додатними коренями.

1

2cos

x

−

π

= 1

А

11π

6

24

2

π

Б

π

2

tg 2x −

6 = −1

12

3

2x −

π

= −1

В π

2sin

3

Г

π

5π

2

Д π

4

2cos

2x + 6

= −1

4

126

18.40. Установити відповідністьміжрівняннями (1–4) такількістюїх коренівна проміжку (0; π) (А–Д).

	1	ctg3x = 4			А	чотири
	2	ctg 2x = 2			Б	три
	3	ctg	x	= 0	В два
					Г один
		4
	4	|ctg 2x| = 1			Д жодного

18.41. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх коренями (А–Д).

1	sin2x – 4sinx + 3 = 0	А x = 2πn, n Z
2	sin2x – 3sinx – 4 = 0	Б	x = π(2n + 1), n Z
3	cos2x – 5cosx + 4 = 0	В	x = − π + 2πn, n Z
4	cos2x – 4cosx – 5 = 0
			2

Г x = π + πn, n Z

2

Д x = π + 2πn, n Z

2

18.42. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та рівносильними їм рівняннями (А–Д).

1	cos3x – cosx = 0	А sin2xcos3x = 0
2	cos3x + cosx = 0	Б sin3xcos2x = 0
3	sin3x – sinx = 0	В sinxcosx = 0
4	sin5x + sinx = 0	Г sinxcos2x = 0
		Д cosxcos2x = 0

18.43. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх коренями (А–Д).

	1	sin	x	−		3 cos			x	= 0	А x = π + πn, n Z
		2				2					6
	2	sin	x	− cos			x	= 0			Б x = − π + πn, n Z
		2				2					6
	3	3 sin x − cos x = 0									В x = π + 2πn, n Z
					x				x		2
	4	3 sin				+ cos				= 0	Г x = − π + 2πn, n Z
				2		2
											3

Д x = 2π + 2πn, n Z

3

18.44. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та рівносильними їм рівняннями (А–Д).

1		cos x		= 0	А sinx = –1
		sin x − 2			Б sinx = 1
2		cos x		= 0	В cosx = 2
					Г cosx = 0
		sin x − 1
3		sin x		= 0	Д cosx = –1
	1 − cos x
4		sin x − 1 = 0
		cos x

127

18.45. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх коренями (А–Д).

1	sinx2 = 1	А x =	5π + 2π(n − 1), n N
2	sin x = 1			2
		Б x = ± π + 2πn,
3	sin2x = 1						де n — ціле невід’ємне число
4	sin|x| = 1		2
		В x =	π + πk, k Z
			2
		Г x = ±		π + 2πn, де n — ціленевід’ємне число
				2
			π			2
		Д x =	2	+	2πn		, де n — ціле невід’ємне число
18.46. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх коренями (А–Д).
1	|sinx| = –sinx		А x		π + 2πk; 3π + 2πk , k Z
2	|sinx| = sinx				2		2
3	|cosx| = –cosx		Б x			− π + 2πk; π + 2πk , k Z
4	|cosx| = cosx					2	2
			В x [π(2k + 1); 2π(k + 2)], k Z
			Г x		π + 4πk; 3π + 4πk , k Z
					2		2
			Д x [2πk; π(2k + 1)], k Z
18.47. Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх коренями (А–Д).
1	sin(x – |x|) = 0		А {−πn, n N} [0; + ∞)
2	sin(x + |x|) = 0		Б {−2πn, n N} [0; + ∞)
3	cos(x + |x|) = 1		В (−∞; 0] {πn , n N					}
4	cos(x – |x|) = 1
							2

Г (−∞; 0] {πn, n N}

Д {− π2n , n N} [0; + ∞)

18.48.Установити відповідність між рівняннями (1–4) та кількостями цілих значень параметра а (А– Д), за яких рівняння мають розв’язки.

	1	cosx = a + 2	А	3
	2	3sin2x = a + 5	Б	5
			В 7
	3	2cos4x = a – 5
			Г	9
	4	4cosx = а + 1
			Д 11

Розв’яжіть завдання 18.49–18.72. Відповідь запишіть десятковим дробом.

18.49. Розв’язати рівняння	sin(π sin x) = −1 . У					відповідь записати кількість коренів на проміжку
[0; π].
18.50. Розв’язати рівняння	cos	2	2π	cos x −	4π	= 1 . У відповідь записати найменший додатний ко-
			3		3

рінь, округлений з точністю до 0,1.

18.51.Знайти кількість коренів рівняння sin2x · tgx + 1 = 3sinx на проміжку (0; π).

18.52.Розв’язати рівняння 3sin x − 2cos2 x = −3. У відповідь записати кількість коренів на проміжку

[0; π].

128

18.53.Розв’язати рівняння 3sin2 x − 4sin x cos x + cos2 x = 0 . У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; π].

18.54.Розв’язати рівняння sin4x + cos4x = sin2x – 0,5. У відповідь записати кількість коренів на промі-

жку [–π; π].

	18.55. Розв’язати рівняння 1− sin x = cos x . У відповідь записати значення	x0	, де х0 — найменший
		π

додатний корінь рівняння.

18.56.Розв’язати рівняння cos x − cos3x = sin 2x . У відповідь записати кількість коренів на проміжку

[0; π].

18.57.Розв’язати рівняння cosx = sin3x. У відповідь записати значення xπ0 , де х0 — найменший дода-

тний корінь рівняння.

	18.58. Розв’язати рівняння	cos x − 3 sin x = 2 . У відповідь записати значення		3x0	, де х0 — най-
				π
	менший додатний корінь рівняння.
	18.59. Розв’язати рівняння	sin2 2x − sin2 x = 1	. У відповідь записати кількість коренів на проміжку
		2

[0; 2π].

18.60.Розв’язати рівняння cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2 . У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; 2π].

18.61. Розв’язати рівняння cos3x + cos 5x = 2. У відповідь записати кількість коренів на проміжку

2

[0; 10π].

18.62.Розв’язати рівняння (sin x + cos x)2 − 3(sin x + cos x) + 2 = 0 . У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; 2π].

18.63.Нехай х0 — найменший додатний корінь рівняння cos2x – 5sinxcosx + 2 = 0. Знайти tgx0.

18.64.За яких значень параметра а рівняння sin4x + cos4x = a має розв’язки? У відповідь записати суму найбільшого та найменшого значень а.

18.65. Розв’язати рівняння	sin	4	2x + cos	4	2x = cos	2	4x +	1	. У відповідь записати значення	4x0	, де х0	—
								4		π

найменший додатний корінь рівняння.

18.66.Розв’язати рівняння 9(tg4 x + ctg4 x) = 15(tg x + ctg x)2 + 2 . У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0; 2π].

18.67. Розв’язати рівняння arccos(sin x) =	x	. У відповідь записати значення	S	, де S — сума всіх ко-
			π
2
ренів рівняння.

18.68.Розв’язати рівняння sin4 x + cos4 x + sin 2x = a . У відповідь записати найбільше значення а, за якого рівняння має корені.

18.69. Розв’язати рівняння x2 − 3x | sin x | − 10 = 0. У відповідь записати кількість коренів на відрізку sin x

[0; 2π]. Якщо коренів немає, то у відповідь записати –10.

18.70.Розв’язати рівняння (х + 0,5)2|sinx| + sinx = 0. У відповідь записати кількість коренів на відрізку

[–π; 0].

18.71.Розв’язати рівняння

18.72.Розв’язати рівняння цього рівняння.

	ctg πx		log			2 = 0. У відповідь записати найбільший корінь рівняння.
	4				x+ 3
					7− x
				2			πx
	49 − 4x				sin πx + 3cos		2	= 0.	У відповідь записати кількість коренів

129

9* Капіносов А. Математика. Тести для підготовки до ЗНО

ТЕМА 19. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ

Завдання 19.1–19.25 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

19.1.

Розв’язати нерівність 2sin 2x > −

2 .

А

Б

В

Г

Д

π

3π

π

3π

π

3π

π

5π

π

5π

− 8

+ πk; 8

+ πk ,

− 4

+ πk; 4

+ πk

,

−

4

+ 2πk;

4

+ 2πk

,

− 8

+ 2πk; 8

+ 2πk

,

− 8

+ πk;

8

+ πk

,

k Z

k Z

k Z

k Z

k Z

19.2.

Розв’язати нерівність sin x > − 1 .

2

А

Б

В

− π + 2πk; 7π + 2πk

, n Z

π + 2πk; 7π + 2πk

, n Z

π + 2πk; 5π + 2πk

, n Z

6

6

6

6

6

6

Г

Д

− π + πk; 7π + πk

, n Z

− π + 2πk; 7π + 2πk

, n Z

6

6

3

3

19.3. Знайти довжину кожного з відрізків координатної прямої, які утворюють розв’язки нерівності

2sinx ≤ 1.

А

Б

В

Г

Д

3π

6π

4π

8π

2π

2

3

3

3

3

19.4.

Розв’язати нерівність 2sin x −

3 < 0. Вказати (у градусах) найбільше ціле значення розв’язку з

проміжку (0°; 90°).

А

Б

В

Г

Д

12°

24°

39°

59°

67°

19.5.

Розв’язати нерівність cos πx > 1 .

2

А

Б

В

Г

Д

π

π

1

1

1

7

1

1

1

1

− 3

+ 2πk; 3

+ 2πk ,

− 8

+ 2k; 6

+ 2k

,

3

+ 2k; 3

+ 2k

,

− 3

+ k; 3

+ k

,

− 3

+ 2k; 3

+ 2k

,

k Z

k Z

k Z

k Z

k Z

19.6.Знайти довжину кожного з відрізків координатної прямої, які утворюють розв’язки нерівності

cos2	x	− sin2	x	≤ −	3		.
			2		2
2
		А					Б	В	Г	Д
		π					π	5π	7π	2π
3						6		6	3	3

130