ТЕСТИ_ЗНО_МАТЕМ

23.29.Установити відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції y = cosx (1–4) та функціями, одержаних у результаті цих перетворень (А–Д).

1Графік функції y = cosx симетрично відобразили відносно осі х

2Графік функції y = cosx симетрично відобразили відносно осі у

3Частину графіка функції y = cosx, яка лежить вище від осі х і на самій осі, залишили без змін, а частину, яка лежить нижче від осі х, відобразили симетрично відносно цієї осі

А y = |cosx|

Б y = |cos|x||

В y = cos|x|

Г y = cos(–x)

Д y = –cosx

4Першу частину графіка функції y = cosx, яка лежить праворуч від осі у і на самій осі, залишили без змін, а другу частину замінили симетричною до першої відносно осі у

23.30.Установити відповідність між графіками функцій (1–4) та їх формулами (А–Д).

1				2									3									4
y				y									y									y
4				4									4									4
3				3									3									3
2				2									2									2
1				1									1									1
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3	4	x	–4 –3 –2 –1 0		1	2	3	4	x			–4 –3 –2 –1 0		1	2	3	4	x			–4 –3 –2 –1 0		1	2	3	4	x
–1				–1									–1									–1
–2				–2									–2									–2
–3				–3									–3									–3
–4				–4									–4									–4
А				Б									В									Г									Д
y = x − 1				y = x − 1									y = x + 1									y = − x									y = − x
23.31. Установити відповідність між графіками функцій (1–4), утворених із графіка функції y = 1 , та
їх формулами (А–Д).																															x
1							2									3									4
y							y									y									y
4							4									4									4
3							3									3									3
2							2									2									2
1							1									1									1
–4 –3 –2 –1 0		1 2 3	4 x	–4 –3 –2 –1 0					1	2	3	4 x	–4 –3 –2 –1 0					1	2	3	4 x	–4 –3 –2 –1 0					1	2	3	4	x
–1							–1									–1									–1
–2							–2									–2									–2
–3							–3									–3									–3
–4							–4									–4									–4

А

Б

В

Г

Д

y =

1

+ 2

y =

1

− 2

y =

1

+ 2

y =

1

+ 1

y =

1

− 2

x + 1

x − 1

x − 1

x − 2

x + 1

171

23.32.Установити відповідність між графіками функцій (1–4), утворених із графіка функції у = |x|, та відповідними формулами (А–Д).

1						2						3						4
y						y						y						y
4						4						4						4
3						3						3						3
2						2						2						2
1						1						1						1
–4 –3 –2 –1	0 1	2	3	4	x	–4 –3 –2 –1	0 1	2	3	4	x	–4 –3 –2 –1	0 1	2	3	4	x	–4 –3 –2 –1	0 1	2	3	4	x
–1						–1						–1						–1
–2						–2						–2						–2
–3						–3						–3						–3
–4						–4						–4						–4

А	Б	В	Г	Д
у = |x + 3|	у = –|x| + 3	у = |x – 3|	у = –|x + 3|	у = |x| – 3

Розв’яжіть завдання 24.33–24.38. Відповідь запишіть десятковим дробом.

23.33.Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння ||x – 2| – 1| = ax має рівно три корені.

23.34.За якого найбільшого цілого значення параметра а рівняння х2 – 2|x| = a має більше, ніж два корені?

23.35.Скільки спільних точок мають графіки функцій y = |x2 – 4|x| + 3| + a та y = 2 залежно від значення параметра а? У відповідь записати значення параметра а, за якого графіки мають три спільні точки.

23.36. Скільки спільних точок мають графіки функцій y =		x				− 1		та у = а + 1 залежно від значення
		x		− 3

параметра а? У відповідь записати найменше ціле додатне значення параметра а, за якого графіки мають чотири спільні точки.

23.37.Скільки спільних точок мають графіки функцій у = max{x2 – 4x + 1; –x2 + 2x + 1} та у = а залежно від значення параметра а? У відповідь записати найбільше ціле значення параметра а, за якого графіки мають три спільні точки.

23.38. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких найменше значення функції f(x) = x2 + 2x + a дорівнює найбільшому значенню функції g(x) = –||x| – 1| – a + 3.

172

ТЕМА 24. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ, ЇЇ ГЕОМЕТРИЧНИЙ І МЕХАНІЧНИЙ ЗМІСТ

Завдання 24.1–24.35 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

24.1.(x6 + 3x2 – x + 3)′ = ...

А

Б

В

Г

Д

x7

3

x2

5

5

5

x7

3

x2

+ x

−

+ 3x

6x + 6x

6x + 6x – 1

6x + 6x – 3

+ x

−

+ 3x + 1

7

2

7

2

24.2.

1

+

′

= ...

x

x3

А

Б

В

Г

Д

−

3

+

1

−

3

+

1

−

1

+ 2 x

3

+

1

1

+

x

2

4

2 x

2 x

3x

2

4

x

3x2

2

x

x

x

24.3.1 cos x − 3tg x = ...

8 ′

А

Б

В

Г

Д

−8sin x −

3

1 sin x −

3

− 1 sin x −

3

− 1 sin x − 3ctg x

− 1 sin x −

3

cos2 x

cos2 x

sin2 x

cos2 x

8

8

8

8

24.4.

Знайти похідну функції у = 5sin7x – 7x2 + 7.

А

Б

В

Г

Д

5cos7x – 14x

35cos7x – 7x

35cos7x – 14x

7cos7x – 7x + 7

5cos7x – 7x

24.5.

Знайти похідну функції y = ln(2x) + 2x3 – 3.

А

Б

В

Г

Д

1 + 6x2 − 3x

1

+ 6x2 − 3

1

+ 6x2

1 + 6x2

2 + 6x2

x

2x

2x

x

x

24.6.

(x5 · 7x )′ = ...

А

Б

В

Г

Д

5x4 · 7x + x5 · 7xlg7

5x4 · 7xln7

5x4 · 7xlg7

5x4 · 7x + x57x · ln7

5x4 + 7xln7

24.7.

ln x

′

= ...

x4

А

Б

В

Г

Д

1 x4 − 4x3 ln x

1

ln x

1 x4 − 4x3 ln x

1 x4 − 4x3 ln x

x

x

4x

3

x

x

x8

4x3

x4

4x3

24.8.

(e3x+5 )′ = ...

А

Б

В

Г

Д

1 e3x+5

3ex

(3x + 5)e3x+5

3e3x+5

e3x+5

3

173

24.9.

Знайти похідну функції y = cos3x у точці x0 =

π

.

18

А

Б

В

Г

Д

− 1

− 3

− 3 3

−

3

3

2

2

2

2

2

24.10. f(x) = (3x – 1)3. Тоді

f ′ (4) = ...

А

Б

В

Г

Д

478

967

1089

363

1331

24.11.

f (x) = 1 x3 −

5

x4 + 3. Тоді f ′ (2) = ...

6

16

А

Б

В

Г

Д

–6

–8

12

16

28

24.12. Знайти f ′ (9), якщо

f (x) =

x − 2

.

x + 1

А

Б

В

Г

Д

–0,03

0,03

0,3

0,7

7

24.13. Знайти f ′ (1), якщо

f (x) = 5 − tg(x − 1) + 17x.

А

Б

В

Г

Д

12

5

16

22

45

24.14. Обчислити значення похідної функції

y =

1

у точці х0 = 2.

(2x − 2)2

А

Б

В

Г

Д

0,5

–0,5

1

1,5

3

2

π

у точці х0

π

24.15. Обчислити значення похідної функції

y =

3sin

2x

− 6

=

8 .

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

4

5

24.16. Обчислити значення похідної функції y = 3cos

x + 7

+ (x − π + 7)2 у точці х0 = π − 7.

6

А

Б

В

Г

Д

0

–0,25

0,5

–0,75

1

24.17. Знайти кут, який утворює з додатним напрямом осі x дотична до графіка функції y = 1 x4 у то-

чці x0 = –1.				4
А	Б	В	Г	Д
30°	45°	120°	135°	150°

24.18. Рівняння дотичної до кривої у = 2х2 – 4х – 1 має вигляд: у = 8х – 19. Визначити абсцису точки дотику.

А	Б	В	Г	Д
2	3	4	–4	8

174

24.19. Скласти рівняння дотичної до графіка функції y = x3 у точці (2; 8).

	А		Б		В			Г	Д
	y + 8 = 12(x + 2)	y − 8 =	1	(x − 2)	y – 8 = x – 2			y – 8 = 8(x – 2)	y – 8 = 12(x – 2)
		12
24.20.	Скласти рівняння	дотичної до графіка			функції у = х2 – 4х		у точці x0 = 1.
	А		Б		В			Г	Д
	y = 3 – 2x	y = –3 – 2x			y = –1 – 2x			y = 1 – 2x	y = 1 + 2x
24.21.
	На кривій f(x) = x2 – x + 1 Знайти точку, в якій					дотична		до кривої паралельна до прямої
	3х – у –1 = 0.
	А		Б		В			Г	Д
	(2; 3)	(0; 3)			(0; 1)			2	3
24.22. Знайти усі значення параметра а, за яких числа х1,						a2 + 3 , х2 утворюють геометричну прогре-
	сію, якщо х1 та х2 — абсциси точок графіка функції f(x) = x3 + 7x2 + (2 – 9a)x, у яких дотичні до
	графіка нахилені до осі абсцис під кутом 135°.
	А		Б		В			Г	Д
	–1	1			0			0; 1	–1; 0

24.23. Знайти миттєву швидкість точки, яка рухається за законом s(t) = 1 t3 + 4t + 1 (s — шлях у мет-

	рах, t — час у секундах) через 3 с після початку руху.					3
	А	Б		В		Г	Д
	12 м/с	13 м/с	14 м/с			15 м/с	16 м/с
24.24. Тіло рухається за законом s(t) = t2 − 4			t . Знайти швидкість тіла в момент t0 = 4.
	А	Б		В		Г	Д
	5	4,75	12			7	7,875
24.25. Обчислити f′(x), якщо f(x) = sin5 + e3.
	А	Б		В		Г	Д
	cos5 + 3e2	sin5 + e3		cos5		0	3e2
24.26. Обчислити f′(x), якщо f(x) = lncosx2.
	А	Б		В		Г	Д
	–2xtgx2	–tgx2		2x		–2tgx2	2xtgx2
				cos x2
24.27. Обчислити f′(x), якщо f(x) = sin2(2x + 0,5).
	А	Б		В		Г	Д
	2(2x + 0,5)cos2x×	2cos(4x + 1)	–2cos(4x + 1)			2sin(4x + 1)	–2sin(4x + 1)
	×(2x + 0,5)
24.28. Обчислити значення похідної функції y = (3x + 1)3 · cos3(x2 + 2x + 1) + π3 у точці х0 = –1.
	А	Б		В		Г	Д
	36	12		–12		0	36 + π3
24.29. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом						s(t) = 2,5t2 − 15t , s — шлях у метрах,
	t — час у секундах. Через який час від початку руху ця точка зупинилася?
	А	Б		В		Г	Д
	1 c	2 с		3 с		3,5 с	4 с

175

24.30.На рисунку зображено графік функції і дотичну до нього в точці з абсцисою x0. Знайти значен-

ня f′(x0).

	y
	12
	10
	8
	6
	4
	2
	1					x
	–2 0	1 2	4	6	8
	–2
А	Б			В		Г	Д
5	–2			2		0,5	–0,5

24.31. Дано функцію y = |3x + 2|. У якій точці функція не має похідної?

	А	Б	В		Г	Д
			− 2		− 3	похідна існує в
	2	–2				будь-якій точці
			3		2	x0 R
24.32. Обчислити похідну функції y = |2x – 5| на проміжку (–∞; 0].
	А	Б	В		Г	Д
	2,5	5	–5		2	–2
24.33. f(x) = x(x – 1)(x – 2)...(x – 19)(x – 20). Знайти f′(0).
	А	Б	В		Г	Д
	–20!	20!	0		1	20

24.34. На якому з рисунків побудовано графік похідної функції y = |1 – x|?

А	Б	В	Г	Д
y	y	y	y	y
1	1	1	1	1

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

24.35.На рисунку зображено графік функції y = f(x). Серед наведених графіків вказати графік функції y = f′(x).

y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0	1	2	3	4	x
–1
–2
–3
–4

176

А

Б

В

Г

Д

y

y

y

y

y

1

1

1

1

1

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

Завдання 24.36–24.47 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків(цифри) і колонок(букви).

24.36. Установити відповідність між функціями (1–4) та їхніми похідними (А–Д).

1f (x) = sin(2x + 3)

2f (x) = 2cos(x + 3)

3f (x) = sin2 (x + 3)

4f (x) = tg 2x

24.37.Установити відповідність між функціями (1–4)

А f '(x) = −2sin(x + 3)

Б f '(x) = sin 2(x + 3)

В f '(x) = 2sin(2x + 3)

Г f '(x) = 2cos(2x + 3)

Д f '(x) = 2 cos2 2x

та їхніми похідними (А–Д).

1f (x) = 2sin2 (3x − 4) + cos x

2f (x) = 2sin(3x − 4) cos x

=2sin(3x − 4)

3f (x)

cos x

4f (x) = tg(3x − 4) cos x

24.38.Установити відповідність між функціями (1–4)

1y = x + 5

3

2y = 5 − x

3

3у = 3 + 5х

4у = 5 – 3х

24.39.Установити відповідність між функціями (1–4)

1y = sin5 + e5

2y = sin5x + e5

3y = sin5 + e5x

4y = sin5x + e5x

А ′ = 3cos x − 0,5sin(6x − 8) sin x f (x)

cos2 (3x − 4)

Б f ′(x) = 6sin(6x − 8) − sin x

В f ′(x) = 6cos(3x − 4) cosx + 2sin(3x − 4) sinx cos2 x

Г f ′(x) = −2cos(3x − 4) sin x

Д f ′(x) = 6cos(3x − 4) cos x − 2sin(3x − 4) sin x

та їхніми похідними (А–Д).

А y′ = –3 Б y′ = 5

В y′ = − 1 3

Г y′ = –5

Д y′ = 1 3

та їхніми похідними (А–Д).

А y′ = 5(cos5x + e5x)

Б y′ = cos5x

В y′ = 5e5x

Г y′ = 5cos5x Д y′ = 0

177

12* Капіносов А. Математика. Тести для підготовки до ЗНО

24.40. Установити відповідність між функціями (1–4) та їхніми похідними (А–Д).

	1	y = 4x4 −						2				А y′ = x3 +			1
								x2							x3
	2	y =	x4	−			1					Б y′ = x	3	−	4
			4			2x2									x3
			x4				2					В y′ = 16x3 +				4
	3	y =	4	− x2													x3
	4	y = 4x		4	−		1					Г y′ = 16x3 +				1
								2x2									x3
												Д y′ = x3 +			4
															x3

24.41. Установити відповідність між функціями (1–4) та їх похідними (А–Д).

1	y = cosxcos7x – sinxsin7x	А y′ = 8cos8x
2	y = cosxcos7x + sinxsin7x	Б y′ = 6cos6x
3	y = sin7xcosx – sinxcos7x	В y′ = 8sin8x
4	y = sin7xcosx + sinxcos7x	Г y′ = –8sin8x
		Д y′ = –6sin6x

24.42. Установити відповідність між функціями (1–4) та їх похідними (А–Д).

1	y = xsin3	А y′ = 3sin2xcosx
2	y = 3sinx	Б y′ = cos3
3	y = sinx3	В y′ = 3x2cosx3
4	y = sin3x	Г y′ = sin3
		Д y′ = 3cosx

24.43. Установити відповідність між функціями (1–4) та їх похідними в точці π (А–Д).

	1	y = sin	x		А –3
		3			Б − 1
	2	y = sin3x
					3
	3	y = sin x			В 0
		3			Г 1
	4	y = cos x			6
		3			Д 1

24.44. Установити відповідність між функціями (1–4) та їх похідними в точці х0 (А–Д).

1	y = 1 x4 + 1 x3 − 1 x2 − x + 5, х0 = 2			А –3
	4	3	2	Б 0
2	y = 1 x4 + 1 x3 − 1 x2 − 2x + 3, х0 = 1			В –2
	2	3	2	Г 9
	y = 1 x4 + 1 x3 − 1 x2 − x + 5, х0 = –2
3				Д 3
	4	3	2
4	y = 1 x4 + 1 x3 − 1 x2 − 2x + 3, х0 = –1
	2	3	2

178

24.45.Установити відповідність між залежностями відстані S від часу t руху матеріальних тіл (1–4) та їх швидкостями в момент часу t = 1 (А–Д).

1	S(t) = 8 1 t3 + 5t		А 4
		3	Б 5
2	S(t) = 4t + 1		В 5 1
	S(t) = t	2	3
3		+ 5t	Г 5 2
	3
4 S(t) = 2t2 + t			3
			Д 30

24.46.Установити відповідність між залежностями відстані S від часу t руху матеріальних тіл (1–4) та часом від початку руху до зупинки тіла (А–Д).

1	S(t) = t3 − t			А 1
	3			2
	S(t) = t	4	+ 2	Б 1
2		− t3		В 3
	4
3	S(t) = t5 − t3 + 4			Г 3
	5			Д 4

4 S(t) = t2 – t

24.47.Установити відповідність між функціями (1–4) та тангенсами кутів, які утворюють дотичні, проведені до графіків функцій у точці з абсцисою х = 0 з додатним напрямком осі х (А–Д).

1	y = e2x			А 0
2	y = 2sin4x			Б 1
3	y = 8cosx			В 2
4	y = 2 tg	x		Г 4
				Д 8
	2

Розв’яжіть завдання 24.48–24.66. Відповідь запишіть десятковим дробом.

24.48. Обчислити значення похідної функції y = tg 6x

у точці x0 =

π

.

24

24.49. Обчислити значення похідної функції y = (2x2 – 1)ln2x у точці x0 = 1.

24.50. Знати похідну функції y = 4 1+ cos3 x

у точці x0

= − π .

2

24.51. Знати похідну функції y = x x x у точці x0 = 1.

sin(4π − 2x)

2

у точці х0

24.52. Обчислити значення похідної функції

f (x) =

+ cos x − 4x

= 5.

π

2cos 2

− x

24.53. Обчислити значення похідної функції

f (x) = sin(x2 − x) +

2x

− 2x

у точці х0 = 0,5.

ln 2

24.54.Записати рівняння дотичної до графіка функції y = 5x2 – 2x, яка утворює з додатним напрямом осі x кут 135°. У відповідь записати абсцису точки дотику.

24.55. Скласти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = e5x + 1, яка паралельна до прямої y = 5x – 8. У відповідь записати абсцису точки дотику.

24.56.До параболи у = х2 + ах – 9 проведено дотичну під кутом 45°. За якого значення параметра а абсциса точки дотику дорівнює –5?

24.57.За яких від’ємних значень а пряма у = ах – 5 дотикається до кривої у = 3х2 – 4х – 2?

179

24.58. Пряма y = − 3 x + C є дотичною до лінії, заданої рівнянням y = 0,5x4 – x. Знайти абсцису точки

4

дотику.

24.59.Знайти тангенс додатного кута, під якими парабола y = x2 + 2x – 8 перетинає вісь абсцис.

24.60.Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції

f (x) =

x + 2

у точці з абсцисою x0 = 2. У відповідь записати наближене значення площі з точ-

x − 1

ністю до 0,01.

24.61. Знати похідну функції y =

6 + 6cos

2

x

2

у точці x0 =

π

. У відповідь записати

f ′(x0 )

.

2

π

24.62. Скласти рівняння прямої,

не паралельної до осі абсцис,

яка проходить через точку

1

і

M 2

; 2

дотикається до графіка функції y = 2 − x2 . У відповідь записати абсцису точки дотику. 2

24.63. За якого значення параметра а пряма y = x дотикається до кривої y = x − a ? 2

24.64.Знайти таке число, щоб різниця між ним і його почетвереним квадратом була найбільшою.

24.65.Вказати кількість точок екстремуму для функції у = (х3 – 3х)5.

24.66. Обчислити найменше значення функції y = x2 + 4 на проміжку [1; 4]. x

180