ТЕСТИ_ЗНО_МАТЕМ

19.7.

Розв’язати нерівність

+

π

> 1.

3 tg x

6

А

Б

В

Г

Д

π

π

π

π

π

π

π

π

π

4

+ πn;

2 + πn ,

3

+ πn; 2

+ πn

,

6

+ πn;

2

+ πn

,

− 2

+ πn; 6

+ πn ,

πn; 3 + πn

,

n Z

n Z

n Z

n Z

n Z

19.8.

Розв’язати нерівність 3tg 2x ≥

3.

А

Б

В

π

+

πn

;

π

+

πn

, n Z

π

+

πn

;

π

+

πn

, n Z

5π

+

πn

;

5π

+

πn

, n Z

4

2

6 4 8

4

12

2 4 2

12 2

Г

Д

π

π

n Z

π

π

, n Z

+ πn;

4

+ πn ,

+ 2πn;

4

+ 2πn

12

12

19.9.Розв’язати нерівність ctg3x ≤ − 3.

А

Б

В

π

πn

π

πn

π

πn

π

πn

π

πn

π

πn

+

;

+

, n Z

+

;

+

, n Z

−

+

;

+

, n Z

18 3 3

3

18

3 6 3

18

6 3 6

Г

Д

5π

+

πn

;

π

+

πn

, n Z

−

π

+

πn

;

π

+

πn

, n Z

3

3

3

18

3

18 12

12

19.10. Серед наведених нерівностей вибрати ту, яка не має розв’язків.

А

Б

В

Г

Д

cos x < − 3

sin x ≥ 0,2

arctg x ≥ 2

tg x ≤

1

arctg x ≤ 1,2

3

4

19.11. Серед наведених нерівностей вибрати ту, яка має розв’язки.

А

Б

В

Г

Д

cos x ≥ 3

cos x < −1

sin x > 1

tg x ≤

3

arcsin x ≤ −π

2

19.12. Розв’язати нерівність cos5xcos x − sin 5xsin x < − 1 .

2

А

Б

В

Г

Д

2 π + 2πn; 4 π + 2πn ,

π π + 2πn; π π + 2πn ,

− 4 π + 2πn; 2 π + 2πn

,

π + πn ; 2π + πn

,

− 2 π + πn ; π + πn

,

3

3

6

3

3

3

9

3 9

3

9

3 9 3

n Z

n Z

n Z

n Z

n Z

19.13. Розв’язати нерівність sin2 x > 1 .

4

А

Б

В

Г

Д

π

5

π

π

π

7

π

π

π

5

6 + 2πn;6

π + 2πn ,

−

6 + 2πn; 6

π + 2πn ,

−

6

+ 2πn;

6π + 2πn ,

− 6

+ πn; 6

+

2πn

,

6

+ πn;

6

π + πn

,

n Z

n Z

n Z

n Z

n Z

131

19.14. Розв’язати нерівність | cos x |≤

2

.

2

А

Б

В

− π + πn; 3π + πn , n Z

π + 2πn; 3π + 2πn

, n Z

π + 2πn; 3π + 2πn

, n Z

4

4

4

4

8

8

Г

Д

π + πn; 3π + πn , n Z

π + πn; 3π + πn , n Z

4

4

8

8

19.15. Розв’язати нерівність cos2 x ≤ 1 .

4

А

Б

В

Г

Д

π

+ πk;

π

π

+ πk;

2π

π

π

π

2

π

2

−

3

3

+ πk ,

3

+ πk ,

−

3

+ 2πk;

3

+ 2πk

,

+ 2πk;

3

π +

2πk

,

3

+ πk;

3

π + πk ,

3

3

k Z

k Z

k Z

k Z

k Z

19.16.

Розв’язати нерівність

(2sin x − 3)tg x ≥ 0 .

А

Б

В

Г

Д

π

πn;

π

π

−

π

−

2

+ 2πn;2πn ,

2

+ πn

,

−

2

+ πn;πn ,

2

+ πn;πn ,

n Z

n Z

n Z

n Z

19.17. Розв’язати нерівність sin x < cos x .

А

Б

В

Г

Д

− π + 2πn; π + 2πn

,

− 3 π + πn; π + πn

,

−3π+2πn;π +2πn

,

(−π + 2πn;2πn),

π + 2πn; 5 π + 2πn

,

4

2

4

4

4

4

n Z

4

4

n Z

n Z

n Z

n Z

19.18. Розв’язати нерівність sinx – cosx > 1.

А

Б

В

Г

Д

π

π

3

π

3

9

5

2

+

2πk;π + 2πk ,

4 + 2πk;

4

+ 2πk

,

2 + πk;

π + πk ,

4

π + πk; 4 π + πk

,

π +

2πk;

2

π + 2πk

,

k Z

k Z

k Z

k Z

k Z

19.19. Розв’язати нерівність

sin x ≥

cos x .

А

Б

В

Г

Д

π

+ 2πk;

5

2πk;

π

+

2πk

π

π

+ 2πk;

π

4

4

π + 2πk

,

2

,

2πk

;

2

+ 2πk

,

4

2

+ 2πk

,

k Z

k Z

k Z

k Z

19.20. Розв’язати нерівність

sin x

< 1 .

2

А

Б

В

Г

Д

π

π

π

5

π

π

π

5

π

7

−

6 + 2πk;

6

+ 2πk

,

6

+ πk;

6 π + πk

,

−

6

+ πk; 6

+ πk

,

6

+ 2πk;

6

π +

2πk

,

−

6

+ πk;

6

π + πk

,

k Z

k Z

k Z

k Z

k Z

132

19.21. Розв’язати нерівність cos x > 1 .

2

А

Б

В

Г

Д

π

2

π

5

π

2π

π

π

π

π

3 + πk;

3

π + πk ,

3 + πk;

6 π + πk

,

3

+ πk;

3

+ πk

,

−

3

+ 2πk;

3

+

2πk

,

−

3 + πk; 3

+ πk

,

k Z

k Z

k Z

k Z

k Z

19.22. Розв’язати нерівність arccos x ≤ 1 .

2

А

Б

В

Г

Д

cos 1 ;1

0; π

−1; cos 1

cos 1 ;1

−1; cos 1

2

3

2

2

2

19.23. Розв’язати нерівність 0 < arcsin x ≤ π .

3

А

Б

В

Г

Д

3

1

2

3

1

0;

0;

2

0;

0;

0;

2

2

2

2

19.24. Розв’язати нерівність arctg x ≥ π .

3

А

Б

В

Г

Д

(−∞;

3

3

3; + ∞)

3

; + ∞

[1; +∞)

−∞;

3

3

19.25. Розв’язати нерівність − π < arctg x ≤ π .

4

3

А

Б

В

Г

Д

(

−

3;1

−1;

3

(

−1; 3

− 3;1

−

3

;1

3

3

Завдання 19.26–19.35 передбачають установлення відповідності. До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків(цифри) і колонок(букви).

19.26.Установити відповідність між заданими нерівностями (1–4) та їх найбільшими розв’язками на проміжку [0; 2π] (А–Д).

1	cos x ≤ − 1	А 5π
	2		6
2	sin x ≥ 1	Б 3π
	2		4
3	tg x ≤ 1	В 2π
4	ctg x ≥ −1	Г	7π
			4

Д 4π 3

133

19.27.Установити відповідність між заданими нерівностями (1–4) та їх найменшими розв’язками на проміжку [0; π] (А–Д).

	1	cos2 x − sin2 x < 2	А	π
	2	sin 2x ≥ 1		8
	3	ctg 2x ≤ 1	Б π
		2		2
	4		В π
		tg 1 x ≥ 1
				4
			Г 0
			Д π

19.28. Установити відповідність між нерівностями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

1	sin		x		> 1		А 2π + 4πn < x < 4π + 4πn, n Z
			2
						2	3	3
2	sin	x			<	2	Б π + 4πn < x < 5π + 4πn, n Z
						2
			2				3	3
3	sin		x		>	3	В 3π + 4πn < x < 9π + 4πn, n Z
			2			2	2	2
							Г π + 4πn < x < 5π + 4πn, n Z
4	sin		x		< −2
							3	3
			2

Д

19.29. Установити відповідність між нерівностями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

1	cos 2x > 1				А − 3π + πn < x < 3π + πn, n Z
	2				8			8
2	cos 2x <	3			Б 3π + πn < x < 5π + πn, n Z
	2				8			8
3	cos 2x > − 1				В	π	+ πn < x < 11π + πn, n Z
	2				12			12
4	cos 2x < −			2	Г − π + πn < x < π + πn, n Z
					3			3
	2
					Д − π + πn < x < π + πn, n Z
					6			6

19.30. Установити відповідність між нерівностями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

3

4π

π

1

sin x < −

А

−

3

+ 2πn;

3

+ 2πn , n Z

2

3

Б

π

11π

, n Z

2

sin x <

6

+

2πn; 6

+ 2πn

2

2

2π

π

3

cos x > −

В

−

3

+ 2πn;

−

3 + 2πn , n Z

2

3

Г

π

π

, n Z

4

cos x <

−

3

+ 2πn; 3

+ 2πn

2

Д

− 3π + 2πn; 3π + 2πn , n Z

4

4

134

19.31. Установити відповідність між нерівностями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

	1	tg 4x > 1			А − π + πn < x <							π				+ πn , n Z
	2	tg 4x < −	3				8			4	24							4
							π +			πn < x <		π			+ πn , n Z
				1	Б −
	3	tg 4x > −
							8			4	12 4
			3		В −		π +			πn < x < −				π			+ πn , n Z
	4	tg 4x <	3
							8			4			12					4
					Г	π		+ πn < x < π + πn , n Z
					16					4	8		4
					Д −		π		+ πn < x < π + πn , n Z
							24
										4			8					4

19.32. Установити відповідність між нерівностями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

1	ctg	x	>	3
	3
2	ctg	x	<	1
				3
	3

3ctg x > −1 3

4ctg x < − 3 3

Аπ + 3πn < x < 3π(n + 1), n Z

2

Б 3πn < x < 9π + 3πn, n Z

4

В 3πn < x < π + 3πn, n Z

2

Г π(3n + 1) < x < 3π(n + 1), n Z

Д5π + 3πn < x < 3π(n + 1), n Z

2

19.33. Установити відповідність між нерівностями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

1

sin x ≥

1

А

π

+

2πk;

7π

,

k Z

2

4

+ 2πk

4

2

cos x ≤

2

Б

4π

π

, k Z

−

+ 2πk;

+ 2πk

2

3

3

3

tg x ≥

3

В

π

+ πk; π + πk , k Z

4

ctg x ≤

3

6

π

π

Г

+ πk;

2

+ πk , k Z

3

Д

π

+

2πk;

5π

, k Z

6

+ 2πk

6

19.34. Установити відповідність між нерівностями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

2

5π

π

1

sin x <

А

−

4

+ 2πk;

4

+ 2πk , k Z

2

3

2π

2

cos x < −

Б

3

+ πk; π + πk

, k Z

2

3

tg x > −1

В

5π

+ 2πk;

7π

+

6

6

2πk , k Z

4

ctg x < −

3

3

Г

−

5π

+ 2πk; −

π

, k Z

6

6

+ 2πk

Д

−

π

+ πk;

π

4

2

+ πk , k Z

135

19.35. Установити відповідність між нерівностями (1–4) та їх розв’язками (А–Д).

1	cos2 x − sin2 x > −				1					А π + πn < x < 3π + πn, n Z
				2						8				8
2	cos x cos3x − sin xsin 3x <							3		Б 2π + 2πn < x < 4π + 2πn, n Z
							2			3				3
										В − 3π			+ πn < x < 3π + πn, n Z
3	cos 2x cos x + sin 2xsin x < −							1
								2		8				8
											π	+ πn < x < 11π + πn , n Z
4	sin	2	x >	1						Г
				4						24			2	24	2
										Д π + πn < x < 5π + πn, n Z
										6				6

Розв’яжіть завдання 19.36–19.49. Відповідь запишіть десятковим дробом.

	3	π		3
19.36. Розв’язати нерівність	sin 4 x +	9	≥		. У відповідь записати найменший додатний цілий
				2

розв’язок нерівності.

19.37.Розв’язати нерівність |sinx| > 0,5. У відповідь записати кількість цілих розв’язків у градусах, які належать відрізку [0°; 360°].

		π		1
19.38. Розв’язати нерівність −1 < cos	2x +	3	≤ −	2 .	У відповідь записати кількість розв’язків, крат-

них 40°, які належать проміжку (0°; 360°].

19.39.Розв’язати нерівність 2sin2 x − 5sin x + 2 < 0. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності на проміжку [0; 2π].

19.40.Розв’язати нерівність 2sin2x – 3cosx < 0. У відповідь записати кількість цілих розв’язків у градусах, які належать проміжку [–90°; 90°].

19.41.Розв’язати нерівність cos 2x + cos x ≥ 0 . У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності на проміжку [0; 2π].

19.42.Розв’язати нерівність 2sin4 2x ≥ sin2 2x . У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності на проміжку [0; 2π].

19.43.Розв’язати нерівність 3 sin x + cos x < 1. У відповідь записати найменший цілий розв’язок нерівності на проміжку [0; 2π].

			π
19.44. Розв’язати нерівність	x 2 − x > cos x · logsin x	2sin	6 .	У відповідь записати найбільший цілий

розв’язок нерівності.

19.45.Розв’язати нерівність tg 2x (x2 − 3x + 2) ≤ 0. У відповідь записати найбільший розв’язок, який належить відрізку [0; 3].

19.46. Розв’язати	нерівність	5x − 4 − x2 (2sin2 x + sin x) ≥ 0.		У	відповідь	записати					найбільший
розв’язок нерівності.							cos x (
19.47. Знайти найменший додатний цілий розв’язок нерівності (x + 1) 3 − 2x log									2 + 1 < 0.
											)
19.48. Знайти найменший додатний цілий розв’язок нерівності				4cos2 x − 1 · logcos x				x − 5		≥ 0.
								2x − 1
19.49. Розв’язати	нерівність	arcsin 1	+ arccos 1 < 2 . У відповідь		записати	найменший додатний
		x	x

розв’язок нерівності.

136

ТЕМА 20. СИСТЕМИ РІВНЯНЬ

Завдання 20.1–20.34 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

20.1. Розв’язати систему рівнянь			x + 3y = 14;		і знайти добуток компонентів розв’язку.
			2y − x = 6
	А		Б		В	Г		Д
	16		20		8	11		131
						5		3

x + y = 3;

20.2.Дано систему рівнянь 2x − 3y = −4. Яке утвориться рівняння, якщо з першого рівняння вира-

зити змінну y через x, і отриманий вираз підставити у друге рівняння замість y?

А	Б	В	Г	Д
5x + 3 = –4	3x – 9 = –4	5x – 3 = –4	5x + 9 = –4	5x – 9 = –4

	x
20.3. Знайти суму компонентів x0 + y0 + z0 розв’язку системи рівнянь
	y
	x

+y = −2;

+z = −11;

+z = 1.

	А		Б		В	Г	Д
	–6	–12			–18	–24	–3
20.4. Розв’язати систему рівнянь			3x + 4y = −20,
				+ 2y = −10.
			5x
	А		Б		В	Г	Д
	(3; 4)	(0; –5)			(7; 9)	(2; –4)	(1; –7,5)

20.5.Знайти середнє арифметичне для значень чисел х та у, які є розв’язками системи рівнянь

3x + 2y = 7;

− + =

x 3y 16.

А

Б

В

Г

Д

3

2

1

4

3,5

2

+

1

= 4;

y

20.6.

Знайти компонент x0

розв’язку (x0; y0) системи рівнянь

x

1

3

x

− y

= 9.

А

Б

В

Г

Д

3

1

147

91

16

3

7

20.7.

Розв’язати систему рівнянь

x + y + 2xy = 7;

+ 2(x + y) = 8.

xy

А

Б

В

Г

Д

(–2; –1), (1; 2)

(–2; 1), (1; –2)

(2; –1), (–1; 2)

(2; 1), (–1; –2)

(2; 1), (1; 2)

137

20.8.Знайти довжини сторін прямокутника, якщо його периметр дорівнює 16 см, а площа — 15 см2.

А

Б

В

Г

Д

4 см, 4 см

3 см, 5 см

1 см, 15 см

2 см, 8 см

10 см, 6 см

2

+

3

= 8;

y

20.9. Розв’язати систему рівнянь

x

5

2

x

− y

= 1.

А

Б

В

Г

Д

(–1; 0,5)

(1; –0,5)

(0,5; 1)

(–1; –0,5)

(1; 0,5)

2

+ y

2

= 5;

20.10. Скільки розв’язків має система рівнянь

x

− 2y2 = −7?

x

2

А

Б

В

Г

Д

Один

два

три

чотири

жодного

x − 3

− y = 0;

20.11. Скільки розв’язків має система рівнянь

xy − 4 = 0?

А

Б

В

Г

Д

Один

два

три

чотири

жодного

20.12. Розв’язати систему рівнянь

2x + y = 11;

У відповідь записати суму х0 + у0 + х1 + у1 + ..., де

2

+ y

2

=

x

53.

(х0; у0), (х1; у1), ... — розв’язки системи.

А

Б

В

Г

Д

9,6

11,4

13,2

15,9

18,2

20.13. Розв’язати систему рівнянь

2

+ y

2

− 2x + 4y − 20 = 0;

x

2x − y = −1.

А

Б

В

Г

Д

(1; 3), (3; 5)

(–1; 3), (3; –5)

(1; 3), (–3; –5)

(1; –3), (3; –5)

(–1; –3), (3; 5)

20.14. Розв’язати систему рівнянь

x − y = 16;

і вказати добуток компонентів її розв’язку.

x +

y =

8

А

Б

В

Г

Д

34

128

64

15

225

x+ y

= 27;

20.15. Розв’язати систему рівнянь

3

і вказати компонент x0 її розв’язку (x0; y0).

4x− y

= 0,25

А

Б

В

Г

Д

0

–1

1

2

–2

20.16. Розв’язати систему рівнянь

lg(x + y) = 2;

і вказати компонент y0 її розв’язку (x0; y0).

− y) =

lg(x

1

А

Б

В

Г

Д

35

110

90

55

45

138

2

− xy = 12;

20.17. Розв’язати систему рівнянь

y

− xy = −3.

x2

А

Б

В

Г

Д

(1; 4), (1; –4)

(1; 4), (–1; 4)

(1; 4), (–1; –4)

(1; 4), (4; 1)

(1; 4), (–4; –1)

2

− xy

= −12;

20.18. Розв’язати систему рівнянь

y

У відповідь записати добуток х0 · у0 · х1 · у1 · ..., де

− xy

= 28.

x

2

(х0; у0), (х1; у1), ... — розв’язки системи.

А

Б

В

Г

Д

269

441

568

969

1268

20.19. Розв’язати систему рівнянь

2

+ xy

+ y

2

= 49;

У відповідь записати суму х0 + у0 + х1 + у1 + ...,

x

x + y + xy = 23.

де (х0; у0), (х1; у1), ... — розв’язки системи.

А

Б

В

Г

Д

3

5

8

16

48

1

+

1

= 5;

y

20.20. Розв’язати систему рівнянь

x

1

1

x2

+ y2

= 13.

А

Б

В

Г

Д

1 1

1

1

1 1

1

1

1

1

1 1

1

1

1 1

1 1

1 1

2 ; 3

,

− 3; −

2

2 ; 3

,

3

;

2

2

;

3

,

−

3; 2

2

; − 3 ,

3; 2

− 2 ; 3 ,

3; 2

20.21. Розв’язати систему рівнянь

(x − 2)( y + 3) = 0;

Вказати суму х0 + у0 + х1 + у1 + ..., де (х0; у0),

2

+ 2xy − y

2

=

x

5.

(х1; у1), ... — розв’язки системи.

А

Б

В

Г

Д

8

1

2

3

4

2

2

20.22. Розв’язати систему рівнянь

2x

+ y

− x + y = 17;

Вказати суму х0 + у0 + х1 + у1 + ..., де (х0; у0),

2 − x − y = 13.

2x2 − y

(х1; у1), ... — розв’язки системи.

А

Б

В

Г

Д

–2

–1

0

1

2

lg x + lg y = lg 2;

20.23. Знайти суму компонентів розв’язку системи рівнянь

2

+ y

2

= 5.

x

А

Б

В

Г

Д

–3

3

7

9

7

139

20.24. Яка з наведених систем за будь-яких значень p має єдиний розв’язок?

А

Б

В

Г

Д

2y = x;

x

x − 2y = 5;

x + 2y = 3;

x − 3y = 5;

+ y = 3;

x

2

y =

+ p

+ 2y

= p

2x − 4y

= p

x − y = p

6y − 2x = p

2

x

20.25. За якого значення а система рівнянь

2x − y = 5;

не має розв’язків?

+ ay = 2

x

А

Б

В

Г

Д

0,5

–0,5

–1

2,5

10

20.26. За якого значення а система рівнянь

3x + y = −15;

має безліч розв’язків?

− x − ay = 5

А

Б

В

Г

Д

1

− 1

3

–3

–1

3

3

6x + by = 5a;

має розв’язок (–1; 2)?

20.27. За яких значень а і b система рівнянь

5ax − 6y = b

А

Б

В

Г

Д

a = 2,

a = 1 , b = 1

a = − 1 , b = 1

a = –2,

a = –1,

b = 2

2

2

2

2

b = –2

b =2

2

− 2xy + y

2

= 4;

20.28. Скільки розв’язків системи рівнянь

x

містять нульовий компонент?

+ xy = 4

x

2

А

Б

В

Г

Д

Один

два

три

чотири

жодного

2

− xy = 79,

20.29. Знайти |x – y|, якщо

x

2.

y2 − xy =

А

Б

В

Г

Д

8

9

77

7

81

x

−

y

= 0;

20.30. Скільки розв’язків має система рівнянь

− 4x =

x2

0?

А

Б

В

Г

Д

Один

два

три

більше, ніж три

жодного

20.31. За якого значення а система рівнянь

2

+ y

2

= 4;

має єдиний розв’язок?

x

x − y = a

А

Б

В

Г

Д

а = 3

a = 2

3

а = −2 2 або

a = −2 3 або

a = − 2 або

а = 2 2

a = 2 3

a = 2

140