3.5. Смешанное произведение трех векторов

Выясним, что можно сказать о произведении трех векторов. Если мы умножим скалярно два вектора  , то их произведение будет скаляром. При умножении третьего векторана этот скаляр мы получим вектор, коллинеарный вектору.

Иное дело будет, если мы перемножим векторы  векторно; в результате мы получим снова вектор. Если этот вектор снова векторно умножить на вектор, то получим новый вектор; если скалярно, то получим скаляр. Рассмотрим более подробно последний случай. Произведениеназываетсясмешанным произведением  и обозначается или.

Для применения смешанного произведения важно выяснить его геометрический смысл. Пусть рассматриваемые векторы  компланарны. Векторное произведениеесть вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма OADB, построенного на векторах, и который направлен перпендикулярно к плоскости этого параллелограмма (рис.3.16). Скалярное произведениеесть произведение длины векторана проекцию векторас на вектор  e. Эта проекция как проекция вектораc на перпендикуляр к плоскости равна расстоянию от конца вектора  c до плоскости параллелограмма, взятому со знаком + или - .

Построим на векторах  параллелепипед. Его высота равна абсолютной величине проекции, а площадь основания  численно равна длине вектораe. Итак, произведение ec  по абсолютной величине равно произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, т.е. объему параллелепипеда.

Отметим, что это произведение имеет положительный знак, если угол между векторами  острый (если векторыобразуют правую систему), и отрицательный - если он тупой (если эти векторы образуют левую систему).

Из сказанного следует, что абсолютная величина  abc не зависит от того, в каком порядке берутся сомножители. Круговая перестановка сомножителей не меняет величину смешан-

ного произведения. Перестановка двух соседних сомножителей меняет его знак:

Рис.3.16. Геометрический смысл смешанного произведение векторов.

Смешанное произведение обращается в нуль, если и только если векторы компланарны.

Рассмотрим векторы . Найдем проекции векторного произведения. Согласно формулам (3.15) эти проекции будут соответственно

Тогда

Правая часть этого равенства есть определитель, у которого первая строка состоит из координат первого сомножителя, вторая - второго, третья - третьего. Итак, мы получаем, что

. (3.16)

На этом мы закончим знакомство с элементами векторной алгебры, которая широко применятся при решении различных задач, имеющих дело с величинами, характеризуемыми не только их величиной, но и направлением. Вопросы векторной алгебры освещаются, например, в [7], [8].

Глава 4. Аналитическая геометрия на плоскости

В этой и следующей главах мы изучим основные понятия и методы аналитической геометрии. Ее предметом является исследование геометрических форм методами алгебры.

Алгебра издавна применяется при решении многих геометрических задач: с помощью чисел вводятся понятия длины, площади, объема, решаются задачи о размерах геометрических фигур. В аналитической же геометрии с помощью чисел характеризуется существеннейшая особенность геометрических фигур - их положение.

Числа, определяющие положение геометрической фигуры, называются ее координатами. Способ же, с помощью которого определяется положение геометрической фигуры, носит название метода координат. Геометрические фигуры весьма разнообразны. При построении теории надо одну или несколько (минимальное число) из них принять за первичные, с помощью которых будут образовываться все остальные. За такую начальную фигуру (форму) проще всего принять точку. Тогда всякую другую геометрическую фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек, но мы должны знать, как определить положение точки в пространстве с помощью чисел (с этим мы познакомились в предыдущей главе). Эта идея метода координат была положена в основу решения различных геометрических задач. Другая идея этого метода заключается в установлении того, каким образом геометрические свойства линии отражаются на координатах точек, принадлежащих этой линии. Плодотворные идеи метода координат нашли себе применение во всех отраслях математики, в механике, физике, сопротивлении материалов и многих других инженерных дисциплинах.