- •2010 Г.
- •Глава 1. Элементы математической логики и теории
- •Глава 2. Элементы линейной алгебры
- •Глава 3. Векторная алгебра
- •Глава 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Глава 5. Аналитическая геометрия в пространстве
- •Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств
- •1.1. Аксиоматический метод
- •1.2. Алгебра высказываний
- •1.3. Логика предикатов
- •1.4. Множества и их элементы
- •1.5. Операции над множествами
- •1.6. Отображения множеств
- •1.7. Мощность множества
- •Глава 2. Элементы линейной алгебры
- •2.1. Системы линейных уравнений
- •2.2. Матрицы и действия над ними
- •2.3. Запись систем в матричной форме и их решение
- •2.4. Определители и их свойства
- •2.5. Правило Крамера
- •2.6. Решение системы линейных уравнений снеизвестными методом Гаусса
- •2.7. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.8. Обратная матрица
- •2.9. Векторное пространство
- •Глава 3. Векторная алгебра
- •3.1. Система координат на прямой, на плоскости и в пространстве
- •3.2. Векторы и линейные операции над ними
- •3.3. Скалярное произведение векторов
- •3.4. Векторное произведение двух векторов
- •3.5. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •4.1. Уравнение линии в заданной системе координат
- •4.2. Различные формы уравнения прямой на плоскости
- •4.3. Основные задачи на прямую на плоскости
- •4.4. Окружность
- •4.5. Эллипс
- •4.6. Гипербола
- •4.7. Парабола
- •4.8. Классификация кривых второго порядка
- •4.9. Построение эллипса, гиперболы, параболы
- •4.10. Кривые второй степени и конические сечения
- •Глава 5. Аналитическая геометрия в пространстве
- •5.1. Поверхности и линии в пространстве
- •5.2. Уравнение плоскости в пространстве
- •5.3. Основные задачи о положении плоскости
- •5.4. Уравнения прямой в пространстве
- •5.5. Основные задачи о положении прямой
- •5.6. Задачи на взаимное расположение прямой и плоскости
- •5.7. Цилиндрические и конические поверхности
- •5.8. Поверхности вращения
- •5.9. Технические приложения геометрических свойств поверхности
5.5. Основные задачи о положении прямой
Рассмотрим теперь некоторые задачи о положении прямой.
Углом между прямыми в пространстве называется любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным прямым. При этом условимся брать угол в пределах от 0 до .
Рассмотрим уравнения двух прямых:
очевидно, за угол между ними можно принять угол между их направляющими векторамииили угол, дополняющий его до. Поэтому
в формуле (5.27) можно брать любой знак, что соответствует выбору одного из двух различных углов между данными прямыми.
Пример 5.12. Найти угол между прямыми /(-1). Для первой прямой направляющие коэффициенты будут:,,, а для второй:,,. Следовательно:
Откуда или.
Для перпендикулярных прямых =0, и из формулы (5.27) мы получаемусловие перпендикулярности двух прямых:
.
Условием параллельности прямых будет выполнение равенств:
.
Это условие можно получить, заметив, что направляющие векторы прямых коллинеарны.
Рассмотрим задачу о нахождении уравнений прямой, проходящей через две заданные точки и. Будем искать эти уравнения в канонической форме.
Для решения задачи достаточно знать координаты одной из точек, лежащих на прямой, и направляющий вектор. Возьмем, например, точку . За направляющий же вектор прямой примем вектор. Проекции его на координатные оси равны
.
Уравнения искомой прямой примут вид:
5.6. Задачи на взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями::
(5.28)
Найдем угол между ними. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Найдем синус этого угла , при этом в дальнейшем будем считать, что, потому что синусы смежных углов равны. Уголбудет углом между прямой и перпендикуляром к плоскости. Его косинус найдем по координатамнормали к плоскости и координатамнаправляющего вектора данной прямой; так как, то мы получим
Числитель берется по абсолютной величине, так как
В случае параллельности прямой и плоскости: угол между ними равен нулю, следовательно, , и формула (5.29) дает необходимое и достаточное условие параллельности:.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости 0совпадает с условием параллельности этой прямой и перпендикуляра к плоскости: .
Найдем теперь координаты точки пересечения прямой с плоскостью, для чего надо совместно решить уравнения (5.28).
Так как все три отношения в уравнениях прямой равны, то мы можем эти уравнения записать в виде:
где - неизвестный параметр. В результате мы получим четыре уравнения первой степени с четырьмя неизвестными:
Из первых трех уравнений находим:
(5.30)
Подставляя эти значения в четвертое уравнение, получаем:
или
,
откуда находим:
.
Подставляя найденное значение в формулы (5.30), найдем координаты искомой точки. Если, тоимеет определенное конечное значение; следовательно, в этом случае прямая пересекает плоскость в одной точке.
В случае, когда ипрямая параллельна плоскости (в силу первого равенства), а точкачерез которую проходит прямая, лежит вне плоскости, следовательно, прямая не имеет общих точек с плоскостью.
Если то прямая параллельна данной плоскости и проходит через точкулежащую в этой плоскости (в силу второго равенства), следовательно прямая вся лежит в данной плоскости.
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями:
Обозначим направляющий вектор первой из них через , второй - через. Как видно из уравнений прямых, первая из них проходит через точкус радиусом-вектором, вторая - через точкус радиусом-вектором. Рассмотрим вектор, его проекциями будут:. Из геометрических соображений ясно, что данные прямые лежат в одной плоскости в том и только том случае, если три векторакомпланарны. Следовательно, искомое условие принадлежности двух прямых плоскости заключается в равенстве нулю смешанного произведения этих трех векторов:
или, в проекциях:
.