4.9. Построение эллипса, гиперболы, параболы

Остановимся на приемах построения кривых второго порядка. Начнем с эллипса. Из его уравнения определяем , изображая их отрезкамиина осях координат (рис.4.18). Из точки, как из центра, радиусом, равным, описываем окружность, которая в пересечении с осью Ox даст фокусы эллипсаи, так как при таком построении соблюдается зависимость. Найдя фокусы эллипса, делим отрезокна две части:и. Затем радиусами, равнымии, описываем две окружности, принимая за их центры соответственно фокусыи. Точки пересечения этих окружностей лежат на эллипсе, так как сумма расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равнаМеняя, будем получать новые точки эллипса.

Рис.4.18. Построение эллипса.

Аналогично проводится построение точек гиперболы. Определяя из уравнения гиперболы изображаем их отрезкамиина осях координат (рис.4.19). Из точки, как из центра, радиусом, равным, 0 описываем окружность, которая в пересечении с осью Ox даст фокусы гиперболы и (так как при этом построении соблюдается равенство ).

Найдя фокусы гиперболы, описываем из них, как из центров, две окружности радиусов и . Точки ипересечения окружностей лежат на правой ветви гиперболы, так как разность расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равна. Меняя, будем получать новые точки правой ветви гиперболы. Изменяя роль фокусов, получим точки левой ветви гиперболы.

Рис.4.19. Построение гиперболы.

Перейдем, наконец, к построению точек параболы. Прежде всего строим фокус и директрису параболы, откладывая на оси Ox вправо от , такой же отрезокпрямую, перпендикулярную к оси параболы (рис.4.20). Параметропределяется из уравнения параболы. Проводим прямую линию, перпендикулярную к оси параболы, на произвольном расстоянии() от директрисы и из фокуса, как из центра, описываем окружность радиуса

Рис.4.20. Построение параболы.

Точки пересечения ипроведенной прямой линии с окружностью принадлежат параболе, так как для каждой из этих точек расстояния до фокуса и директрисы равны между собой.

4.10. Кривые второй степени и конические сечения

Эллипс, гипербола и парабола могут быть получены сечением прямого кругового конуса плоскостями. Поэтому кривые эти называют  1коническими сечениями.

Под прямым круговым конусом мы понимаем здесь поверхность, которая получается при вращении прямой вокруг некоторой оси, пересекающей эту прямую.

Рассмотрим сечения прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину (рис.4.21). Можно доказать, что если плоскость пересекает лишь одну полость конуса, не будучи параллельна ни одной из его образующих, то кривая сечения будет эллипсом; если же секущая плоскость будет параллельна одной из образующих конуса, то кривая сечения будет параболой. В том случае, когда плоскость пересекает обе полости конуса, в сечении будет гипербола.

Учитывая результаты предыдущих параграфах, мы получаем следующее общее определение конического сечения (эллипса, гиперболы и параболы): коническое сечение есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная  (). 0 При этом:

для эллипса 

для параболы  

для гиперболы  

Изученные кривые второго порядка находят весьма широкое применение в военном деле и технике. Прежде всего окружность, комментировать ее роль в нашей жизни думается особой нужды нет, упомянем лишь колесо.

Эллипс и парабола - с их помощью описываются траектории полета космических тел: по окружностям и эллипсам, например, движутся искусственные спутники, если скорость космического аппарата будет равной второй космической, то он покидает сферу притяжения Земли, двигаясь по параболе. По параболе же происходит движение тела, брошенного под углом к горизонту (в отсутствии сопротивления воздуха), в том числе артиллерийского снаряда.

Большую роль в технике играют поверхности, получаемые вращение этих кривых вокруг некоторых осей, но об этом мы поговорим, когда будем рассматривать поверхности второго порядка.

В этой главе мы познакомились с прямыми на плоскости и плоскими кривыми второй степени - окружностью, эллипсом, гиперболой и параболой. Подчеркнем, что этим полностью исчерпывается список линий степени не выше второй, т.е. наш анализ был в этом смысле полным.