1.3. Логика предикатов

Логика предикатов вводит в рассмотрение высказывания, отнесенные к предметам. В ней уже имеется расчленение высказывания на субъект и предикат.

Пусть - некоторое множество предметов и,,,- какие-то определенные предметы из этого множества. Тогда высказывания об этих предметах мы будем обозначать в виде,,и т.д.обозначает высказывание о предмете,- высказывание о предмете,- высказывание о предметахии т.д. Пусть, например,представляет собой натуральный ряд чисел, а буквы, соответственно числа. Тогдаможет быть, например, высказыванием:--"3.

Такие высказывания могут быть как истинны, так и ложны. Мы будем рассматривать эти высказывания только с той точки зрения, что они представляют собой либо истину, либо ложь, обозначаемые соответственно символами  и. Но здесь мы будем считать, что значенияиставятся в соответствие определенным предметам или группам предметов. Так, в рассмотренных выше примерахпредставляет собой, поставленную в соответствие предмету;-, поставленную в соответствие предмету;-, поставленную в соответствие паре предметови. Пусть- произвольное непустое множество, апредставляет собой произвольный предмет из этого множества. Тогда выражениестановится определенным (становится высказыванием), когдазамещено определенным предметом из.уже представляют собой вполне определенные высказывания.

Пример 1.3. Если натуральный ряд, томожет обозначать:. Это выражение становится высказыванием, еслизаменить некоторым числом, например:"4 простое число" и т.д.

Пример 1.4. Пусть обозначает:. Это выражение становится высказыванием, еслиизаменить числами:,и т.д.

Так как с нашей точки зрения каждое высказывание представляет собой  или, то выражениеозначает, что каждому предмету изпоставлен в соответствие один из двух символовили. Иначе говоря,представляет собой функцию, определенную на множествеи принимающую только два значенияи. Таким же образом выражения, связывающие два и более предмета,и т.д. представляют собой функции двух, трех и т.д. переменных. При этом переменныепробегают множество, а функция принимает значенияи. Эти выражения, или функции одного или нескольких переменных, мы будем называтьлогическими функциями или предикатами. Предикатом с одной переменной можно выразить  свойство предмета, например, "," и т.д.

Понятие предикатов в классической логике Аристотеля соответствует в нашей терминологии предикату с одной переменной. Понятие, введенное нами, имеет более широкий смысл. Предикатами мы называем также и логические функции нескольких переменных. Ими можно выразить отношения между предметами. Пусть, например, - множество действительных чисел, а переменные- предметы из. Тогда можно посредством предикатов от двух и большего числа переменных выразить различные отношения между числами, как-то:

и другие, обозначив эти предикаты соответственно ,и т.д. Пусть- множество членов семьи. Тогда можно предикатами выразить родственные отношения, например,,и т.д. Предикатможет обозначать,-и т.д.

Кроме операций алгебры высказываний, мы будем употреблять еще две новые операции. Операции эти выражают собой утверждения общности и существования.

1. Квантор общности. Пусть - вполне определенный предикат, принимающий значениеилидля каждого элементанекоторого множества. Тогда под выражениеммы будем подразумевать  высказывание истинное, когдаистинно для  каждого элементамножества,  и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от. Соответствующее ему словесное выражение будет: "для всякогозначение высказыванияесть истина".

Знак  называетсяквантором общности , в качестве его обозначения использована перевернутая буква, с которой начинается английское слово All (все, каждый).

2. Квантор существования Пусть - некоторый предикат. Мы свяжем с ним формулу

,

определив ее значение как  истину, если существует элемент множества  ,  для которогоистинно, и как ложь в случае, если  такого элемента не существует.  Тогда если– определенная формула логики предикатов, то формула

также определена и от значения не зависит. Знакназываетсяквантором существования, его обозначение идет от английского Exist (существовать).

Кванторы  иназываютсядвойственными  друг другу.

Мы будем говорить, что в формулах  икванторыиотносятся к переменнойили что   переменнаясвязана соответствующим квантором.

Предметную переменную, не связанную никаким квантором, мы будем называть  свободной переменной.  Таким образом, мы описали все формулы логики предикатов.

Существует закон, связывающий кванторы со знаком отрицания. Рассмотрим выражение

.

Высказывание равносильно высказыванию:или, что то же,. Следовательно, выражениеравносильно выражению

  .

Рассмотрим таким же образом выражение  . Это есть высказывание. Но такое высказывание равносильно высказыванию:или. Итак, высказываниеравносильно высказыванию.

Мы получили, таким образом, следующее правило:

Знак отрицания можно ввести под знак квантора, заменив квантор на двойственный. В основании современной математики кроме математической логике лежит теория множеств.