1.5. Операции над множествами

После того, как мы обсудили понятие множества, изучим основные операции над множествами.

Одна из аксиом теории множеств постулирует существование некоторого множества, называемого пустым  - это множество, не содержащее ни одного элемента, оно обозначается или Ø.

Ряд других аксиом позволяют строить новые множества из уже имеющихся, в частности постулируется существование объединения, пересечения двух множеств, разности множеств и множества, содержащего хотя бы по одному элементу из каждого из заданных множеств.

Пересечением множеств и(обозначается) называется множество, элементы которого принадлежат и множествуи множествуодновременно:

.

Объединением множеств и(обозначается) называется множество, элементами которого являются все элементы множестваи все элементы множестваи никакие другие:

.

Разностью множеств и(обозначается) называется множество всех тех элементов множества, которые не являются элементами множества:

.

Пример 1.6. Пусть и, тогда,,,.

B

B

A

A

B

B

A

A

B

A

Рис.1.1.1. на верхних ; на средних; на нижнем левом; на нижнем правом е).

Множество называетсяподмножеством множества (обозначается), если любой элемент множестваявляется элементом множества. Если при этом, то говорят, чтоявляется собственным подмножеством множестваи пишут. Записьчитается "является подмножеством множества" или "содержится в" или, наконец,включает. Если хотят сказать, что множествоне является подмножеством, то пишут.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Пример 1.7. Если , то его подмножествами являются  Ø,,,,,,,. Заметим, что мы перечислили все подмножества множества.

Важно не смешивать отношения принадлежности и отношение включения. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 1.8. Рассмотрим множество . Заметим прежде всего, что оно состоит из четырех элементов:. Верными являются следующие соотношения:

, ,,, , .

Следующие соотношения верными не являются:

.

В математике, и мы еще не раз встретимся с этим, особенно в математическом анализе, используются специальные обозначения и терминология для подмножеств множества действительных чисел, изображаемых на числовой оси в виде некоторых промежутков. Рассматриваются следующие промежутки:

 -  замкнутый промежуток или отрезок,

 =-открытый промежуток (интервал),

 =-полуоткрытый промежуток (отрезок открытый справа или интервал замкнутый слева),

 =(-полуоткрытый промежуток (отрезок открытый слева или интервал замкнутый справа),

, ,-  бесконечные промежутки.

В заключение этого параграфа приведем пример на доказательство равенства двух множеств.

Пример 1.9. Доказать, что

=. (1.1)

Пусть , следовательно,, или, Рассмотрим первую из этих возможностей, вторая рассматривается аналогично. Итак, пусть, тогдаи, но тогдаи, откуда следует, что. Таким образом, доказано, что если, то.

Пусть теперь , тогдаи, следовательно, возможны две ситуации:

1. и, тогдаи тем более;

2. и, этот случай аналогичен предыдущему.

Из доказанного следует, что если , то. Это завершает доказательство равенства (1.1).