5.9. Технические приложения геометрических свойств поверхности

В практической жизни людей в настоящее время огромную роль играют плоские поверхности (плоскости, их части). Мы ограничимся здесь только примерами из строительства: стены, полы, потолки зданий, окна, двери и т.д. - все это плоские поверхности. Но огромна роль и поверхностей второго порядка.

Широчайшее использование на практике и в производстве находит поверхность второго порядка - сфера. Существенную для практических применений играет ее свойство, заключающееся в том, что расстояние от ее любой точки до центра одинаково, что используется, например, в подшипниках. Кроме того из всех поверхностей заданной площади наибольший объем ограничивает именно сфера. Это свойство используется при строительстве хранилищ.

Трубы, тоннели, цистерны - примеры цилиндрических поверхностей, роль которых в нашей жизни огромна.

Всевозможные воронки, конические купола и т.д. доставляют нам примеры использования конических поверхностей.

При создании радио и теле антенн, телескопов используется параболоид вращения.

Рассмотрим более подробно один класс поверхностей, начало использованию которых, было положено Шуховым - это так называемые линейчатые поверхности.

Линейчатыми  называются поверхности, образованные движением прямой, а лежащие в ней прямые называются  прямолинейными образующими. 

Примерами таких поверхностей являются цилиндрическая и коническая. Среди поверхностей второго порядка прямолинейными образующими обладают (кроме конуса и цилиндров) однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Однополостный гиперболоид задается уравнением

Это уравнение можно записать так:

или

Рассмотрим систему уравнений первой степени:

где - произвольное число.

При определенном значении эти уравнения определяют прямые линии. Меняя параметр, мы получим семейство прямых. Почленное перемножение этих уравнений дает уравнение поверхности (5.50). Следовательно, всякая точка, координаты которой удовлетворяют системе (5.51), лежит на поверхности (5.50). Таким образом, каждая из прямых семейства целиком располагается на поверхности однополостного гиперболоида.

Аналогично, на его поверхности располагается еще одно семейство прямых:

Можно доказать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой каждого из этих семейств.

Аналогичными рассуждениями можно убедиться в том, что на поверхности гиперболического параболоида также располагаются два семейства прямолинейных образующих. Через каждую точку его поверхности проходит по одной прямой каждого семейства.

Наличие прямолинейных образующих у однополостного гиперболоида используется в строительной технике. Идея такого использования и практическое осуществление ее принадлежит известному русскому инженеру, почетному члену АН СССР Владимиру Григорьевичу Шухову (1853-1939), который осуществил конструкции мачт, башен, опор, составленные из металлических балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Первая такая конструкция была осуществлена Шуховым при сооружении опоры высотой в 26 метров для водонапорного резервуара (1896). Высокая прочность таких конструкций в соединении с легкостью определила их большое распростра-

нение в нашей стране и за рубежом.

В целом можно сказать, что наша современная жизнь не возможна без применения изученных нами поверхностей первого и второго порядков.

Более глубоко познакомиться с аналитической геометрией можно, например, по книгам [6-8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Келли Дж.Л. Общая топология. - М.: Наука, 1981.

2. Новиков П.С. Элементы математической логики. - М.: Физматгиз, 1959.

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1980.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1965.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1, Т.2. - М.: Наука, 1985.

6. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1979.

7. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1964.

8. Зайцев И.А. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1998.