- •2010 Г.
- •Глава 1. Элементы математической логики и теории
- •Глава 2. Элементы линейной алгебры
- •Глава 3. Векторная алгебра
- •Глава 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Глава 5. Аналитическая геометрия в пространстве
- •Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств
- •1.1. Аксиоматический метод
- •1.2. Алгебра высказываний
- •1.3. Логика предикатов
- •1.4. Множества и их элементы
- •1.5. Операции над множествами
- •1.6. Отображения множеств
- •1.7. Мощность множества
- •Глава 2. Элементы линейной алгебры
- •2.1. Системы линейных уравнений
- •2.2. Матрицы и действия над ними
- •2.3. Запись систем в матричной форме и их решение
- •2.4. Определители и их свойства
- •2.5. Правило Крамера
- •2.6. Решение системы линейных уравнений снеизвестными методом Гаусса
- •2.7. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.8. Обратная матрица
- •2.9. Векторное пространство
- •Глава 3. Векторная алгебра
- •3.1. Система координат на прямой, на плоскости и в пространстве
- •3.2. Векторы и линейные операции над ними
- •3.3. Скалярное произведение векторов
- •3.4. Векторное произведение двух векторов
- •3.5. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •4.1. Уравнение линии в заданной системе координат
- •4.2. Различные формы уравнения прямой на плоскости
- •4.3. Основные задачи на прямую на плоскости
- •4.4. Окружность
- •4.5. Эллипс
- •4.6. Гипербола
- •4.7. Парабола
- •4.8. Классификация кривых второго порядка
- •4.9. Построение эллипса, гиперболы, параболы
- •4.10. Кривые второй степени и конические сечения
- •Глава 5. Аналитическая геометрия в пространстве
- •5.1. Поверхности и линии в пространстве
- •5.2. Уравнение плоскости в пространстве
- •5.3. Основные задачи о положении плоскости
- •5.4. Уравнения прямой в пространстве
- •5.5. Основные задачи о положении прямой
- •5.6. Задачи на взаимное расположение прямой и плоскости
- •5.7. Цилиндрические и конические поверхности
- •5.8. Поверхности вращения
- •5.9. Технические приложения геометрических свойств поверхности
5.4. Уравнения прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве будет вполне определено, если на прямой задать некоторую точку при помощи ее радиуса-вектораи вектор(отличный от нулевого), параллельный рассматриваемой прямой (рис.5.7). Этот векторназовемнаправляющим вектором прямой. Переменной точке M прямой соответствует ее радиус-вектор , и из рис.5.7 мы видим, что
(5.21а)
Рис.5.7. Векторное уравнение прямой.
Вектор параллелен вектору, значит, гдеможет принимать любые значения в зависимости от положения точкина прямой. Равенство (5.21а) можно переписать так:
, (5.21)
причем играет роль переменного параметра. Уравнение (5.21) называетсявекторным уравнением прямой.
Обозначим декартовы координаты точки относительно системы с началом в точке O через, текущие координаты точки- черезПроекции вектора- через. Написав уравнение (5.21) в проекциях, получимпараметрические уравнения прямой.
. (5.22)
Заметим, что при единичном векторе коэффициентыстановятся косинусами углов, образованными данной прямой с осями координат. В этом случае уравнения (5.21) и (5.22) принимают вид:
Параметр здесь имеет простой геометрический смысл:обозначает расстояние от переменной точкидо точки, взятое со знаком + или - в зависимости от того, будет ли направление вектораодинаково или нет с направлением вектора.
Очевидно, что отсюда
(5.23)
т.е. пропорциональны направляющим косинусам прямой, причем коэффициентом пропорциональности служит длина вектора:
Таким образом, мы получаем:
Вместо параметрических уравнений, прямую обычно определяют посредством системы двух уравнений первой степени между текущими координатами. Эти уравнения получаются из параметрических путем исключения параметра . Так, из уравнений (5.22) находим:
или
. (5.24)
Уравнения (5.24) называются каноническими уравнениями прямой. В частности, приуравнения (5.24) примут вид:
.
Система двух уравнений (5.24) представляет прямую как пересечение двух плоскостей, задаваемых уравнениями:
Заметим, что в канонических уравнениях все коэффициенты не могут обратиться в нуль одновременно, так как . Но некоторые из них могут быть равны нулю. В этом случае формула (5.24) принимается условно.
Пусть, например, Тогда будем иметь:то есть. Заметим, что равенствагеометрически означают одно и тоже: первое из них показывает, что прямая перпендикулярна к оси абсцисс, а второе, что прямая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси абсцисс.
Пусть в канонических уравнениях прямой
коэффициент отличен от нуля, т.е. прямая не параллельна плоскости Oxy. Запишем эти уравнения раздельно в таком виде:
(5.25)
Каждое из них в отдельности задает плоскость, причем первая из них параллельна оси ординат, а вторая - оси абсцисс.
Таким образом, представляя прямую уравнениями (5.25), мы рассматриваем ее как пересечение двух плоскостей, проектирующих эту прямую на плоскости координат Oxz и Oyz.
Если бы направляющий коэффициент был равен 0, то обязательно, хотя бы один из двух других коэффициентов, например, был бы отличен от нуля, т.е. прямая не была бы параллельна плоскости Oyz. В этом случае мы могли бы выразить прямую уравнениями плоскостей, проектирующих ее на координатные плоскости Oxy и Oxz, записав уравнения (5.24) в виде
Таким образом, любая прямая может быть выражена уравнениями двух плоскостей, проходящих через нее и проектирующих ее на координатные плоскости.
Через каждую прямую проходит бесконечное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно, представляют уравнения этой прямой.
Вообще всякие две не параллельные между собой плоскости с уравнениями
определяют прямую, являющуюся их пересечением.
Уравнения (5.26), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой.
От общих уравнений прямой можно перейти к ее каноническим уравнениям. Для этого надо знать какую-нибудь точку прямой и ее направляющий вектор. Координаты точки легко находятся из данной системы уравнений, одну из координат можно взять произвольно и затем надо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Направляющий вектор прямой перпендикулярен к обоим нормалям рассматриваемых плоскостей. Поэтому в качестве него можно взять вектор, направленный по линии пересечения плоскостей, являющийся векторным произведением этих нормалей.
Пример 5.11. Написать канонические уравнения прямой . Выберем произвольно одну из координат. Пусть, например,. Тогда получим систему:, откуда. Итак, точка (2;0;1), лежит на нашей прямой. Найдем теперь векторное произведение векторов (2,-3,1) и (3;1;-2), получим направляющий вектор прямой (5;7;11). Поэтому канонические уравнения будут:
.