n

n ∑ei2

20×70,29

R2 =1−

i=1

=1−

≈0,98,

n

n

2

291797−(2401)

2

2

20×

n ∑y

i

− ∑ y

i

i=1

i=1

n

2

2

2

2

2

(n−2)

0,98×18

R

где

∑yi

=y1 +y

2

+...+yn

=291797; F =

2 =

=882

;

1−R

1−0,98

i=1

F крит =F α; m; n−m−1 =F 0,05; 1;18 =4,41<882 ,

следовательно уравнение

значимо.

Для оценки точности аппроксимации исходных данных функцией регрессии используются и другие показатели, среди которых

выделим следующие.

1

Среднее абсолютное отклонение

n

ei

. Средняя относитель-

∑

n i=1

n

ная ошибка в процентах

A=

1

∑

ei

×100% .

yi

n i=1

Принято считать, что качество уравнения достаточно хорошее, если A ≤ 7%.

Отметим, что с последней формулой для расчета A нужно обращаться осторожно вблизи начала координат. Если некоторое значение yi значительно меньше остатка ei, то относительная ошибка аппроксимации будет очень большой не смотря на хорошее качество уравнения регрессии.

Резюме

При выполнении предпосылок Гаусса–Маркова, оценки параметров уравнения парной линейной регрессии, полученные методом наименьших квадратов, обладают свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности. Статистическая значимость коэффициентов и качество подбора уравнения проверяются с помощью распределений Стьюдента и Фишера. Коэффициент при объясняющей переменной показывает, на сколько единиц изме-

63

нится зависимая переменная, если объясняющая вырастет на одну единицу.

Вопросы для самопроверки

1.Перечислите условия Гаусса–Маркова.

2.Что такое гетероскедастичность случайных возмущений?

3.Что такое автокорреляция случайных возмущений?

4.Объясните геометрический смысл параметров уравнения парной линейной регрессии.

5.Что показывает коэффициент при объясняющей переменной

вуравнении парной линейной регрессии?

6.Как исследуется статистическая значимость параметров уравнения?

7.Какая оценка называется несмещенной?

8.Какая оценка называется состоятельной?

9.Какая оценка называется эффективной?

10.Расшифруйте аббревиатуры: TSS, ESS, RSS и запишите формулы, по которым рассчитываются их величины.

11.Запишите формулы для расчета коэффициента детерминации. В каких пределах изменяется данный показатель? Объясните его смысл.

12.Чему равна сумма остатков?

13.Как называется статистика, используемая для исследования статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии? Как она рассчитывается?

14.Как называется статистика, используемая для исследования статистической значимости коэффициента детерминации? Как она рассчитывается?

15.Как рассчитать точечную оценку математического ожидания зависимой переменной в случае парной линейной регрессии?

16.Детерминированными или случайными величинами являются оценки параметров уравнения регрессии?

17.Детерминированными или случайными величинами являются теоретические параметры уравнения регрессии?

64