Если m →∞, то функция плотности распределения Стьюдента стремится к функции плотности нормального распределения. На практике полагают, что распределение Стьюдента можно заменить нормальным при m>30 .

Распределение Стьюдента широко применяется в следующей стандартной схеме. Для независимых случайных величин X 1,X 2,

..., X m, распределенных по нормальному закону φ(x; μ,σ2), лучшие несмещенные оценки математического ожидания μ и дисперсии σ2 дают статистики

X 1+X 2 +...+X m

X =

и

m

2

2

2 .

s2 =

(X 1−X )

+(X

2−X )

+...+(X m−X )

m−1

−μ

При этом

X

подчиняется стандартному нормальному за-

σ

(

)

2

кону φ(x;0,1), случайная величина

m−1

s

= χ2 — закону «хи-

2

квадрат», а отношение:

σ

−μ

X

X

−μ

σ

=

m−1

χ2

s2

σ2

оказывается распределенным по Стьюденту, что позволяет более точно оценивать доверительные интервалы по заданному уровню значимости.

§ 7. F-распределение (распределение дисперсионного отношения)

Анализируя поведение отношения двух выборочных дисперсий, вычисленных по наблюдениям двух выборок, извлеченных из одной и той же нормальной генеральной совокупности, английский

32

статистик Р. Фишер пришел к распределению, которое в дальнейшем стали называть F-распределением и которое может быть определено в общем случае следующим образом.

Рассмотрим m1+m2 независимых и (0,σ2)-нормально распределенных величин ξ1, ξ2, ..., ξm1; η1, η2, ..., ηm2 и положим:

1				m1	2
				∑	ξi
F (m1,m2)=	m1 i=1					.
1				m2	2
				∑	ηj
	m2 j=1

Та же самая случайная величина может быть определена и как отношение двух независимых и соответствующим образом норми-

рованных χ2- распределенных величин χ2 (m1) и χ2 (m2), т. е.

1			χ2	(m1)
F (m1,m2)=	m1				.
1			2	(m2)
			χ
	m2

Можно показать, что плотность вероятности случайной величины F (m1, m2) задается функцией:

m1+m2

m

m2

m

1

m2 2

Γ

m1

2

1

−1

2

F (m1, m2)=

×

x 2

.

m1 m2

m +m

1

2

Γ

Γ

(m1x+m2)

2

2 2

(0≤x <∞)

Закон называется F-распределением с числами степеней свободы числителя и знаменателя, равными соответственно m1 и m2.

§ 8. Статистическая проверка гипотез

Гипотеза H0, подлежащая проверке, называется нулевой. Гипотеза H1, которая будет приниматься, если отклоняется H0, называется альтернативной. Например, если проверяется гипотеза о ра-

33

венстве параметра θ некоторому значению θ0 , т. е. H0: θ= θ0 , то в качестве альтернативной могут рассматриваться следующие гипоте-

зы: H 1(1) : θ ≠θ0 ; H 1(2) : θ >θ0 ; H 1(3) : θ <θ0 ; H 1(4) : θ =θ1(θ1 ≠θ0).

Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи, а нулевая гипотеза часто подбирается так, чтобы опровергнуть ее и принять альтернативную гипотезу. Статистическая проверка гипотез на основе выборочных данных неизбежно связана с риском принятия ложного решения. При этом возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза, в то время как верна альтернативная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать буквой α , и ее называют уровнем значимости. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначают β . Тогда вероятность не

совершить ошибку второго рода (1−β) называют мощностью кри-

терия. Обычно значения α задают заранее (например, 0,1; 0,05; 0,01), а затем стремятся построить критерий наибольшей мощности. Таким образом, если α=0,05 , то это значит, что не хотят совершить ошибку первогорода более чем в5 случаях из100.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н1 выбирают левостороннюю, правостороннюю или двустороннюю критическую область.

При конкурирующей гипотезе H1: θ= θ0 выбирают двустороннюю критическую область. Границы критической области в этом случае определяются из условий:

θкрит1

P(θ≤θкрит1 )= ∫ f (θ H 0) dθ= α2 ,

−∞

+∞

P (θ ≥ θкрит 2 )= ∫ f (θ H 0 ) d θ = α2 ,

θкрит 2

34

где f (θ H 0) — функция плотности распределения случайной ве-

личины θ в случае справедливости Н0, P(θ≤θкрит1) — вероятность того, что θ≤θкрит1 . Тогда вероятность случайной величины

θ попасть за пределы интервала (θкрит1, θкрит2) равна α . Зададим

вероятность α настолько малой, чтобы попадание случайной величины за пределы этого интервала было маловероятным событием. Тогда можно считать, что если гипотеза Н0 справедлива, то при ее проверке с помощью критерия по данным одной выборки на-

блюдаемое значение ˆθ должно наверняка попасть в интервал (θкрит1,θкрит2). Если наблюдаемое значение ˆθ попадет за пределы

указанного интервала, то произойдет маловероятное, практически невозможное событие. Это дает основание считать, что с вероятностью 1−α нулевая гипотеза Н0 несправедлива. Критическая об-

ласть (−∞;θкрит1) (θкрит2;+∞)называется двусторонней критической областью.

f x

α		α
2		2
θкрит1	ˆ	θкрит2
	θ

Рис. 1.3. Двусторонняя критическая область. Площадь заштрихованной фигуры равна α

35

Правосторонней называют критическую область (θкрит;+∞), определяемую из соотношения:

+∞

P(θ≥θкрит)= ∫ f (θ H 0) dθ=α .

θкрит

Она используется в случае, когда альтернативная гипотеза имеет вид: Н1:θ>θ0 .

f x

	α
ˆ	θкрит
θ

Рис. 1.4. Правосторонняя критическая область. Площадь заштрихованной фигуры равна α

Левосторонней называют критическую область (−∞; θкрит), определяемую из соотношения:

θкрит

P(θ<θкрит)= ∫ f (θ H 0) dθ=α.

−∞

Она используется в случае, когда альтернативная гипотеза имеет вид: H 1 : θ <θ0 .

36