Эту величину используют для оценки параметра ρ.

3. С помощью полученной оценки для ρ получают матрицу:

			1		r	r		2	...	r	n−1
ˆ
		r			1	r			...	rn−2
Ω =					...		...		...	...
	...
			n−1	r	n−2	r	n−3		...		1
	r

и рассчитывают новую оценку параметров обобщенным методом наименьших квадратов:

b = [X T Ωˆ −1X ]−1 ZT Ωˆ −1Y .

На первом и втором этапах получают состоятельную оценку параметра ρ, так что оценки наименьших квадратов, рассчитанные на третьем этапе, будут состоятельными, хотя и не вполне эффективными, поскольку истинное значение ρ остается неизвестным. Проведенные Уоллисом эксперименты над выборками показали, что его метод оценивания приводит к значительно меньшему смещению и к меньшей сумме квадратов ошибок, чем применение обычного метода наименьших квадратов.

§ 11. Полиномиально распределенные лаги Ш. Алмон

При использовании преобразования Койка на коэффициенты регрессии накладываются достаточно жесткие ограничения. Предполагается, что «веса» коэффициентов при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии. В ряде случаев такое предположение весьма уместно, но в некоторых других оно не выполняется. Встречаются ситуации, когда значения лаговой объясняющей переменной за 3-4 периода от момента наблюдения оказывают на зависимую переменную большее влияние, чем текущее или предшествующее ему значение объясняющей переменной. Распределенные лаги Алмон позволяют достаточно гибко моделировать такие изменения. Опираясь на теорему Вейерштрасса (которая утверждает, что непрерывная на замкнутом интервале функция может быть приближена на всем отрезке многочленом подходящей степени от ее аргумента, отличающимися от этой функции в любой

200

точке меньше, чем на любое заданное число) и рассматривая весовые коэффициенты βi в модели (9.30) как функции от величины

лага i, автор предложила выразить их в виде полиномов невысокой степени m (m ≤ 3) от i, т. е.

βi =α0 +α1i +α2 i2 +... +αm im .

(9.45)

Для простоты изложения схемы Алмон положим, что βi подчиняется зависимости (9.46).

βi =α0 +α1i +α2 i2	(9.46)
Тогда (9.30) может быть представлено в виде:

yt =α +∑k (a0 + a1i + a2 i2)xt −i +εt =

i=0

k		k		k	(9.47)
α + a0 ∑xt −i + a1		∑ixt −i +a2		∑i2 xt −i +εt .
i =	0	i =	0	i =	0

k	k
Положив zt 0 = ∑ xt −i,	zt1 = ∑ixt −i,
i =0	i =0

yt =α +a0 zt0 +a1 zt1

k
zt 2 = ∑i2 xt −i , имеем:
i =0
+a2 zt 2 +εt .	(9.48)

Значения α, a0 , a1, a2 могут быть оценены по МНК. При этом случайные отклонения εt удовлетворяют предпосылкам МНК. Коэффициенты βi определяются из соотношения (9.46).

Отметим, что для применения схемы Алмон необходимо вначале определиться с количеством лагов k. Обычно это количество находится подбором, начиная с «разумного» максимального, постепенно его уменьшая. После определения k необходимо подобрать степень m полинома (9.45). Недостатком метода является взаимная корреляция переменных zti, которая повышается с ростом степени полинома. Это увеличивает стандартные ошибки коэффициентов ai в соотношениях, аналогичных (9.48).

Пример 9.4. Имеются следующие данные (x — доход, ден. ед., y — расходна потреблениенекоторого блага; табл. 9.5).

Таблица 9.5

201

Расчетная таблица

	Условное время	x	y	z0	z1	z2
	1	11,4	13,2	-	-	-
	2	11,8	14	-	-	-
	3	7,1	12,5	-	-	-
	4	10,4	13	40,7	64,9	156,9
	5	7,5	11,5	36,8	60	145
	6	14	13,8	39	49,6	113
	7	9,9	13,8	41,8	60,2	137,6
	8	14,4	15,9	45,8	60,4	133,4
	9	9	14	47,3	76,2	180
	10	9,4	13,3	42,7	67,5	155,7
	11	14,9	15,7	47,7	70,6	175
	12	15,3	16,9	48,6	60,7	133,5
	13	12,8	16,5	52,4	73,3	159,5
	14	14,8	17,6	57,8	88,1	208,1
	15	9,6	15,3	52,5	86,3	203,7
	16	18	18,1	55,2	77,6	184
	17	11,3	16,8	53,7	81,6	189,6
	18	9,8	14,8	48,7	76,1	169,7

Пусть число лагов равно трем и веса в модели Алмон подчиняются полиному второй степени, т. е.

yt =α + β0 xt + β1 xt −1 + β2 xt −2 + β3 xt −3 +εt ,

βi =α0 +α1i +α2 i2 .

Тогда модель примет вид:

yt =α +α0 zt0 +α1 zt1 +α2 zt 2 +εt ,

zt 0 = xt + xt −1 + xt −2 + xt −3 , zt1 = xt −1 + 2 xt −2 +3 xt −3 , zt 2 = xt −1 + 4 xt −2 +9 xt −3.

202

После оценки параметров получим эмпирическое уравнение регрессии:

yˆt = 2,2 +0,4994zt0 +0,2374zt1 +0,03646zt2 ,

следовательно βi = 0,4994 +0,2374i +0,03646i2 .

Возвращаясь к исходным переменным, получим:

yˆt = 2,2 +0,499xt +0,298xt−1 +0,170xt−2 +0,1152xt−3.

Резюме

Временной ряд в общем случае состоит из следующих компонент: тренд (основная тенденция развития), циклическая составляющая, сезонная составляющая и случайное возмущение. Если различные компоненты ряда складываются, то модель называется аддитивной, если перемножаются — мультипликативной. Тренд записывается как некоторая функция от времени. В модели всегда присутствует случайное возмущение.

Стационарные временные ряды исследуются с помощью моделей авторегрессии, скользящего среднего, авторегрессии — скользящего среднего. Вид модели определяется путем изучения свойств автокорреляцинной и частной авкорреляционной функций.

Нестационарные временные ряды, которые становятся стационарными после вычисления последовательных разностей некоторого порядка, исследуются с помощью модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется временным рядом?

2.Какие составляющие выделяют у временного ряда?

3.Как выглядит аддитивная модель временного ряда?

4.Как выглядит мультипликативная модель временного ряда?

5.Что такое тренд?

6.Какая составляющая временного ряда всегда присутствует в модели?

7.Какой ряд называется стационарным в узком смысле?

8.Какой ряд называется стационарным в широком смысле?

203