Ключи к тестам для самоконтроля

№	Вариант ответа	№	Вариант ответа	№	Вариант ответа
					в
1	г	11	а	21
2	б	12	б	22	б
3	в	13	в	23	а
4	в	14	б	24	б
5	а	15	а	25	в
6	б	16	а	26	в
7	б	17	б	27	в
8	г	18	а	28	б
9	в	19	в	29	г
10	а	20	г	30	б

Контрольная работа

Основной формой работы студента является самостоятельное изучение материала. Изучение курса завершается выполнением контрольной работы. Прежде чем приступить к выполнению контрольной, необходимо ознакомиться с соответствующими разделами курса, изучить рекомендуемую литературу.

Цель контрольной работы — закрепление и проверка знаний, полученных студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала, а также выявление их умения применять на практике эконометрические методы.

Требования к оформлению и выполнению контрольной работы

1.Контрольную работу необходимо выполнить и предоставить в срок, установленный графиком работы, но не позднее, чем за две недели до начала сессии.

2.В начале работы указать номер варианта, перед решением полностью привести условия задач.

238

3.Выполнять задания в той последовательности, которая указана в варианте.

4.Решение задач следует подробно объяснить. Задачи, в которых приведены только ответы без расчетов и пояснений, будут считаться нерешенными.

5.Работа выполняется аккуратно (она должна быть чисто и разборчиво написана, без помарок и сокращений слов, кроме общепринятых).

6.В конце работы приводится список литературы.

7.Работа подписывается студентом с указанием даты ее выполнения.

Варианты контрольной работы

Студент должен выполнить в установленный срок контрольную работу, состоящую из 4 задач. Номер варианта можно выбрать, воспользовавшись следующей таблицей.

Первая буква фамилии студента	Номер варианта
А, Л, Х	1
Б, М, Ш	2
В, Н, Щ	3
Г, О, Ы	4
Д, П, Э	5
Е, Ё, Р, Ю	6
Ж, С, Я	7
З, Т, Ч	8
И, Й, У	9
К, Ф, Ц	10

239

Вариант 1

Задача 1

Имеется информация за 10 лет относительно среднего дохода X и среднего потребления Y (млн. руб.):

	Годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
	X	10,5	11,6	12,3	13,7	14,5	16,1	17,3	18,7	20,1	21,8
	Y	8,12	10,0	8,41	12,1	12,4	11,4	12,8	13,9	17,3	17,5

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0, b1 теоретических коэффициентов β0, β1 при уровнях значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте потребление при доходе X = 19,0 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X =19,0).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее95% возможных объемовпотребленияпри доходеX = 19,0.

6.Оцените, на сколько изменится потребление, если доход вырастет на 3 млн. руб.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

По 15 наблюдениям получены следующие результаты:

15	15	=1240,		15
∑xi1	=120, ∑xi21			∑xi2
i =1	i =1			i =1
15	15
∑xi1 xi2 =936, ∑xi1 yi			=5732,
i =1	i =1
15
∑ei2	=30.
i =1

	15		15
=104, ∑xi22		=1004, ∑ yi		=590,
	i =1		i =1
15	yi =4841,		15
∑xi2			∑ yi2 =27468,
i =1			i =1

240

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии:

Y= β0 + β1 x1 + β2 x2 +ε .

2.Определите стандартные ошибки коэффициентов.

3.Вычислите R2 и R 2 .

4.Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии и детерминации при уровне значимости α = 0,05.

Задача 3

	Пусть		определена регрессия	ˆ
				Y = b0 +b1 X1 +b2 X 2 , причем
b1 > 0.		При	отбрасывании переменной		X2 и оценке регрессии
ˆ	= b0	+b1 X1 +b2 X 2 коэффициент		a1	оказался отрицательным
Y

(a1<0). Возможно ли это? Если да, то при каких обстоятельствах?

Задача 4

Докажите, что график уравнения парной линейной регрессии всегда проходит через точку с координатами (x, y), где x, y — средние значения переменных.

Вариант 2

Задача 1

Имеется информация о деятельности 10 компаний. X — оборот капитала (млрд. руб.), Y — чистый доход (млрд. руб.):

	№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	X	31,3	13,4	4,5	10,0	20,0	15,0	60,1	17,9	40,2	2,0
	Y	2,2	1,7	0,7	1,7	2,2	1,3	4,1	1,6	2,5	0,5

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε по методу наименьших квадратов.

2.Проверьте статистическую значимость оценок b0 ,b1 теоретических коэффициентов β0, β1 при уровне значимости α = 0,05.

3.Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

241

4. Спрогнозируйте чистый доход при обороте капитала X = 50,0 и рассчитайте 95%-й доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X = 50,0).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений чистого дохода при обороте капитала X = 50,0.

6.Оцените, на сколько изменится чистый доход, если оборот капитала вырастет на 3 млрд. руб.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

Имеется информация за 15 лет относительно среднего дохода X и среднего потребления Y (млн. руб.):

	Годы	X	Y	Годы	X	Y	Годы	X	Y
	1995	10,5	8,8	2000	16,1	11,9	2005	23,1	20,5
	1996	11,6	12,0	2001	17,3	13,5	2006	24,3	19,5
	1997	12,3	13,0	2002	18,7	15,0	2007	25,5	19,1
	1998	13,7	12,6	2003	20,1	18,2	2008	27,8	19,3
	1999	14,5	11,2	2004	21,8	21,2	2009	30,0	24,0

1.Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε по методу наименьших квадратов.

2.Вычислите значение DW статистики Дарбина–Уотсона и проанализируйте наличие автокорреляции остатков.

3.При наличии автокорреляции переоцените уравнение регрессии, используя для этого один цикл метода Кохрана–Оркатта.

Задача 3

Имеются следующие значения переменных X и Y:

	X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Y	2,6	4,6	6,0	9,4	9,0	12,3	15,1	14,3	17,9	23,1

242

Рассчитайте коэффициент корреляции rxy, проверьте гипотезу о наличии (отсутствии) корреляционной связи.

Задача 4

Как действует на величину коэффициента корреляции rxy увеличение в n раз всех значений переменных X и Y?

Вариант 3

Задача 1

Имеется информация по 10 регионам о среднедневной зарплате X (ден. ед.) и расходах на покупку продовольственных товаров в общих расходах Y (%):

	№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	X	340	389	452	509	540	567	643	658	679	720
	Y	70,1	62,1	66,1	65,6	55,6	58,0	55,1	57,3	53,1	48,1

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0 ,b1 теоретических коэффициентов β0, β1 при уровне значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте долю расходов на покупку продовольственных товаров при средней зарплате X = 700 ден. ед. и рассчитайте 95%-й доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X = 700).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений Y при X = 700.

6.Оцените, на сколько процентов изменятся расходы на покупку продовольствия, еслисреднедневная зарплата вырастетна10 ден. ед.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

243

Задача 2

Известны данные для 30 домохозяйств (в условных единицах) по доходам (X) и расходам (Y):

	X	26	28	31	32	34	35	37	40	41	43
	Y	11,2	9,74	12,4	15,0	12,2	12,1	16,4	14,7	16,4	20,2
	X	45	48	49	52	53	54	57	60	61	62
	Y	14,9	19,2	23,0	24,4	21,2	17,8	22,8	28,2	21,6	20,5
	X	63	66	67	68	69	70	75	77	79	80
	Y	29,6	31,0	24,8	22,4	22,8	34,9	31,5	30,8	23,3	41,1

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε по методу наименьших квадратов.

2.Примените тест Голдфелда–Квандта для изучения гипотезы об отсутствии гетероскедастичности остатков.

3.В случае гетероскедастичности остатков примените взвешенный метод наименьших квадратов, предполагая, что дисперсии от-

клонений σ i2 пропорциональны xi2 .

4. Определите, существенно ли повлияла гетероскедастичность на качество оценок в уравнении, построенном по обычному методу наименьших квадратов.

Задача 3

Рассчитайте стандартные ошибки Sb0 , Sb1 , Sb2 коэффициентов мо-

		2	−0,3	−0,3
делилинейнойрегрессии, если (X T X )−1		−0,3	0,1	0		15	= 4 .
	=					, ∑e2
		−0,3	0	0,1		i =1

Задача 4

Имеются следующие данные об остатках парной линейной регрессии (t-номер момента наблюдения):

15	2	= 90,	15	(	−	)2	= 31.
∑			∑
t =1	et		t =2	et		et −1

244

Сделайте вывод о наличии или отсутствии автокорреляции, применив тест Дарбина–Уотсона.

Вариант 4

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям о зависимости себестоимости Y (ден. ед.) единицы продукции от трудоемкости единицы продукции X (чел.-час):

	№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	X	10,3	11,2	12,3	11,8	14,6	15,8	15,2	14,2	13,1	10,8
	Y	110	125	130	131	150	172	158	145	140	118

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0 ,b1 теоретических коэффициентов β0 , β1 при уровне значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте себестоимость при трудоемкости X = 15,0 и рассчитайте 95%-й доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X =15,0).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений себестоимости при трудоемкости X = 15,0.

6.Оцените, на сколько изменится себестоимость, если трудоемкость вырастет на 1 чел.-час.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

Предполагается, что объем предложения некоторого блага Y для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит

245

линейно от цены X1 данного блага и от заработной платы X2 сотрудников фирмы, производящих данное благо:

Y = β0 + β1 X1 + β2 X 2 +ε .

	X1	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	45
	X2	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	1
	Y	20	35	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	135

1. Оцените по методу наименьших квадратов коэффициенты уравнения регрессии.

2. Проверьте качество построенной модели на основе t-статистики и F-статистики.

Задача 3

При расчете коэффициентов уравнения регрессии yˆ = b0 +b1 x

была допущена ошибка при определении коэффициента b0 (коэффициент b1 вычислен правильно). В результате получили b0 = 5.

20	20	(yi	− yˆi)= 40 . Определи-
Сумма остатков оказалась равной: ∑ei = ∑
i=1	i=1

те коэффициент b0.

Задача 4

Коэффициент корреляции между переменными X и Y равен 0,9. Каким будет коэффициент детерминации в случае линейной модели регрессии?

Вариант 5

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям о зависимости удельных постоянных расходов Y от объема выпускаемой продукции X:

	№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	X	1000	900	950	1020	1100	950	1150	1200	1220	1250
	Y	800	720	730	800	845	745	890	940	922	960

246

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0 ,b1 теоретических коэффициентов β0 , β1 при уровне значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте постоянные расходы при объеме выпуска X = 120 и рассчитайте 95%-й доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X =1200 ).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных постоянных расходов при объеме выпуска X = 120.

6.Оцените, на сколько единиц изменится значение постоянных расходов, если объем выпуска вырастет на 100.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

Выберите подходящую нелинейную модель, линеаризуйте ее и оцените параметры, если имеются следующие данные (X — объясняющая переменная, Y — зависимая переменная).

	X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Y	5	12,3	20,9	30,3	40,5	51,4	62,7	74,6	87,0	99,8

Задача 3

				ˆ	+b X1 +b2 X 2 +e .
Рассматривается модель Y = b0
Получены матрицы:
			0,74	−0,06	−0,06				330
(X T X	)−1		−0,06	0,01	−0,002		XT Y
		=				,		=	2000 .
			−0,06	−0,002	0,01
									2060

Рассчитайте оценки b0 ,b1 ,b2 параметров модели.

247

Задача 4

Чему равны коэффициент детерминации R2 и F-статистика в случае строгой функциональной зависимости y от x?

Вариант 6

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям о потреблении материалов Y от объема производства продукции X:

	№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	X	105	116	123	137	145	161	173	187	201	218
	Y	210	240	270	290	300	320	350	400	400	450

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0 ,b1 теоретических коэффициентов β0, β1 при уровне значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте потребление материалов при объеме производства X = 200 и рассчитайте 95%-й доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X = 200).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов потребления материалов при объеме производства X = 200.

6.Оцените, на сколько изменится потребление материалов, если доход вырастет на 10.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

Выберите подходящую нелинейную модель, линеаризуйте ее и оцените параметры, если имеются следующие данные (X — объясняющая переменная, Y — зависимая переменная):

248

X	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Y	5,5	5,7	6,3	6,6	7,1	7,7	8,12	9,1	9,3	10

Задача 3

Коэффициент корреляции двух переменных X и Y равен 0,85. Чему будет равен коэффициент корреляции, если все значения переменных X и Y умножить на -10?

Задача 4

Как ведет себя зависимая переменная с ростом объясняющей переменной в модели линейной регрессии, если коэффициент корреляции меньше, чем коэффициент детерминации?

Вариант 7

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям концерна об объеме продаж Y (млн. руб.) от затрат на рекламу X (млн. руб.).

	№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	X	1,1	1,2	1,3	1,5	1,6	1,5	1,9	2,1	2,2	2,3
	Y	23,1	23,6	24,2	23,1	25,2	25,1	26,7	26,3	27,1	26,9

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0, b1 теоретических коэффициентов β0, β1 при уровне значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте объем продаж при затратах на рекламу X = 2,5 и рассчитайте 95%-й доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X = 2,5).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов продаж при затратах на рекламу X = 2,5.

6.Оцените, на сколько изменится объем продаж, если расходы на рекламу вырастут на 0,1 млн. руб.

249

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

Даны следующие данные (X — объясняющая переменная, Y — зависимая переменная). Выберите подходящую нелинейную модель, линеаризуйте ее и оцените параметры.

	X	10,0	11,7	13,7	16,0	18,7	21,9	25,7	30,0	35,1	41,1
	Y	15,0	13,0	11,0	11,2	10,3	9,4	8,9	8,1	7,6	7,44

Задача 3

Построены две эмпирических модели:

(1)Y = b0 + b1 X + e ,

(2)ln Y = b′0 + b′1 X + e .

Коэффициенты детерминации соответственно равны:

(1)R2 = 0,91,

(2)R2 = 0,95.

Можно ли сказать, что уравнение (2) лучше описывает исходные данные, чем уравнение (1)? Ответ обосновать.

Задача 4

Если построить модель ˆ =b0 X1 b2 X 2 , где Y — прибыль,

Y +b + +e

X1 — доход, X2 — затраты, токакими будут коэффициентырегрессии?

Вариант 8

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям оптовой торговли об объеме реализации Y относительно размера торговой площади X:

	№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	X	700	750	800	830	850	900	920	950	980	890
	Y	6350	7800	7600	8600	8600	9200	9000	9100	9950	9000

250

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0, b1 теоретических коэффициентов β0, β1 при уровне значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте объем реализации при размере торговой площади X = 1000 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X =1000 ).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов реализации при торговой площади X = 1000.

6.Оцените, на сколько единиц изменится объем реализации, если площадь вырастет на 100.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

Имеются данные о динамике оборота розничной торговли и потребительских цен региона за два года. Используя метод Ш. Алмон, оцените параметры модели с распределенным лагом. Длину лага выберите не более 4, степень аппроксимирующего полинома — не более 3. Оцените качество построенной модели.

	Месяц	Оборот розничной торговли,	Индекс потребительских цен,
		% к предыдущему месяцу	% к предыдущему месяцу
	Январь	70,8	101,7
	Февраль	98,7	101,1
	Март	97,9	100,4
	Апрель	99,6	100,1
	Май	96,1	100,0
	Июнь	103,4	100,1
	Июль	95,5	100,0
	Август	102,9	105,8

251

	Месяц	Оборот розничной торговли,	Индекс потребительских цен,
		% к предыдущему месяцу	% к предыдущему месяцу
	Сентябрь	77,6	145,0
	Октябрь	102,3	99,8
	Ноябрь	102,9	102,7
	Декабрь	123,1	109,4
	Январь	74,3	110,0
	Февраль	92,9	106,4
	Март	106,0	103,2
	Апрель	99,8	103,2
	Май	105,2	102,9
	Июнь	99,7	100,8
	Июль	99,7	101,6
	Август	107,9	101,5
	Сентябрь	98,8	101,4
	Октябрь	104,6	101,7
	Ноябрь	106,4	101,7
	Декабрь	122,7	101,2

Задача 3

(1)Y = β0 + β1 X +ε — теоретическое уравнение регрессии,

(2)Y = b0 + b1 X + e — эмпирическое уравнение регрессии.

Какое из уравнений и почему лучше описывает выборочные данные?

Задача 4

Если построить модель ˆ = 0 1 2 2 +e, где Y — прибыль,

Y b +b X +b X

X1 — доход, X2 — затраты, то каким будет коэффициент детерминации?

Вариант 9

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям оптовой торговли об объеме реализации Y относительно товарных запасов X:

252

	Годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
	X	11,1	11,6	12,3	12,8	13,3	13,6	13,9	14,5	16,8	18,2
	Y	70,1	73,3	77,1	76,1	80,1	76,5	79,5	81,5	86,8	91,5

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 +β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0, b1 теоретических коэффициентов β0, β1 при уровне значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. СпрогнозируйтеобъемреализациипритоварныхзапасахX = 20,0 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X = 20,0).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов реализации при уровне за-

пасов X = 20,0.

6.Оцените, на сколько единиц изменится объем реализации, если товарные запасы вырастут на 1.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

На предприятии используются станки двух фирм (А, В). Исследуется надежность этих станков. Учитывается возраст станка (X, в месяцах) и время (Y, в часах) безаварийной работы до последней поломки. Выборка из 36 станков дала следующие результаты.

	Фирма	X	Y		Фирма	X	Y
	А	23	280		А	52	200
	А	69	176		А	66	123
	А	63	176		А	20	245
	А	52	200		А	48	236
	А	66	123		В	30	230
				253

	Фирма		X	Y		Фирма	X	Y
	А		20	245		В	25	216
	А		48	236		В	75	45
	А		25	240		В	20	265
	А		71	115		В	40	176
	А		40	225		В	25	260
	А		30	260		В	69	65
	А		75	100		В	45	126
	А		56	170		В	69	45
	А		37	240		В	22	220
	А		67	120		В	33	194
	А		23	280		В	21	240
	А		69	176		В	50	120
	А		63	176		В	56	88
	Оцените	уравнение		регрессии		Y = β0 + β1 X +γ1 D +γ 2 DX +ε ,

учитывающее различие качества станков разных фирм.

Задача 3

Выведите непосредственно методом наименьших квадратов формулу для оценки коэффициента наклона в регрессии без свободного члена, т. е. найдите оценку параметра β1 в регрес-

сии Y = β1 X +ε минимизацией суммы квадратов отклонений

∑n (yi−yˆi)2 .

i=1

Задача 4

Как ведет себя зависимая переменная с ростом объясняющей переменной в модели линейной регрессии, если коэффициент корреляции больше, чем коэффициент детерминации?

Вариант 10

Задача 1

Имеется информация за 10 лет относительно среднего дохода X и среднего потребления Y (млн. руб.):

254

	Годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
	X	10,5	11,6	12,3	13,7	14,5	16,1	17,3	18,7	20,1	21,8
	Y	8,12	10,0	8,41	12,0	12,4	11,4	12,8	13,9	17,3	17,5

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = β0 + β1 X +ε

по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b0, b1 теоретических коэффициентов β0, β1 при уровне значимости α = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте потребление при доходе X = 23,0 и рассчитайте 95%-й доверительный интервал для условного математического ожидания M (Y X = 23,0).

5.Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов потребления при доходе

X = 23,0.

6.Оцените, на сколько изменится потребление, если доход вырастет на 3 млн. руб.

7.Рассчитайте коэффициент детерминации R2.

8.Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2

Имеется следующая модель кейнсианского типа:

Ct = a1+b11Yt+b12Tt+εt1

It = a2+b21Yt-1+εt2

Tt = a3+b31Yt+εt3 Yt = Ct+It+Gt

(функция потребления) (функция инвестиций) (функция налогов)

(тождество дохода)

гдеCt — совокупное потребление в период времени t; Yt — совокупный доход в период времени t;

It — инвестиции в период времени t; Tt — налоги в период времени t;

Gt — государственные расходы в период времени t;

255