3.Как выглядит ковариационная матрица вектора случайных отклонений, если предпосылки Гаусса–Маркова выполняются?

4.Как выглядит ковариационная матрица вектора случайных отклонений в случае автокорреляции?

5.Как выглядит ковариационная матрица вектора случайных отклонений в случае автокорреляции этих отклонений в соседних наблюдениях?

6.Сохраняется ли несмещенность оценок параметров линейной модели при автокорреляции случайных возмущений?

7.Сохраняется ли эффективность оценок параметров линейной модели при автокорреляции случайных возмущений?

8.Сохраняется ли состоятельность оценок параметров линейной модели при автокорреляции случайных возмущений?

9.По какой формуле рассчитывается статистика Дарбина– Уотсона?

10.Сколько критических значений имеет статистика Дарбина– Уотсона?

11.В каких диапазонах статистики Дарбина–Уотсона имеется автокорреляция случайных возмущений?

12.Запишите формулы, по которым преобразуются переменные

вметоде Кохрана–Оркатта.

13.Когдаприменяетсяобобщенныйметоднаименьшихквадратов?

ГЛАВА 5. ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Цель: изучение нарушения одной из предпосылок условий Га- усса–Маркова, а именно: постоянство дисперсии случайных возмущений в различных наблюдениях.

Методические указания

Внимание следует обратить на методы обнаружения гетероскедастичности остатков, ее последствия и методы ее устранения. Подробно разбирается тест Голдфелда–Квандта и устранение гетероскедастичности при определенных предположениях о дисперсии случайных возмущений. Обратите внимание на вычисление коэффициентов по формуле Эйткена и сравните ее с формулой обычного

105

метода наименьших квадратов. Запомните, что метод, применяемый в случае автокорреляции остатков и (или) гетероскедастичности остатков, называется обобщенным методом наименьших квадратов.

§ 1. Общие понятия

При рассмотрении классической линейной регрессионной модели МНК дает наилучшие линейные несмещенные оценки лишь при выполнении ряда предпосылок, одной из которых является постоянство дисперсии отклонений (гомоскедастичность):

σi2 =σ2 =const, i =1, ..., n .

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскеда-

стичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполни-

мость данной предпосылки называется гетероскедастичностью

(непостоянством дисперсий отклонений).

Требование постоянства дисперсии случайных отклонений может показаться странным. При каждом i-м наблюдении имеется единственное значение εi. Откуда же появляется дисперсия случайного члена? Дело в том, что при рассмотрении выборочных данных мы имеем дело с конкретными реализациями зависимой переменной yi и соответственно с определенными случайными отклонениями εi , i =1, ..., n . Но до осуществления выборки эти показатели

априори могли принимать произвольные значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Данное условие подразумевает, что, несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую — при других.

Однако на практике гетероскедастичность не так уж и редка. Зачастую есть основания считать, что вероятностные распределения случайных отклонений εi при различных наблюдениях будут различными. Это не означает, что случайные отклонения обязательно будут большими при определенных наблюдениях и малыми — при других, но это означает, что априорная вероятность этого ве-

106

лика. Ниже (рис. 5.2) показано как будет выглядеть характерная

диаграмма рассеяния в случае гетероскедастичности остатков.

Y

X

Рис. 5.1. Модель с гомоскедастичным случайным членом

Y

X

Рис. 5.2. Модель с гетероскедастичным случайным членом

Во многих эконометрических исследованиях, в особенности базирующихся на перекрестных данных, предположение о постоянстве дисперсии возмущения оказывается нереалистичным. При изучении бюджетов потребителей можно заметить, что дисперсия остатков относительно линии регрессии увеличивается с ростом дохода. Аналогично при перекрестном анализе деятельности фирм дисперсия остатков должна возрастать с увеличением размера

107

фирм. Напомним, что перекрестными называются данные, относящиеся к различным объектам.

Модель с гетероскедастичностью является частным случаем обобщенной модели регрессии (наряду с автокорреляцией случайных возмущений). Матрица ковариаций вектора возмущений в случае гетероскедастичности принимает диагональный вид:

		σ2	0	...	0
		ε1	2	...
	T	0			0
			σε2
							(5.1)
M ε ε =			...	...		.
	...				...
		0	0	...	2
					σεn

Диагональные элементы матрицы в случае гетероскедастичности различны. Напомним, что в случае гомоскедастичности остатков:

σ2ε1 =σ2ε2 =...=σ2εn =σ2ε =const .

Матрицу ковариаций представляют в виде:

			1		0		...	0
				λ1
					1
	T		2	0			...	0		2
						λ2					(5.2)
M ε ε		=σ							=σ Ω,
					...		...
			...					...
				0	0		...	1
								λn

где элементы матрицы Ω — известные положительные числа, σ2 — неизвестная величина. Таким образом, если величины λi

известны, параметры модели необходимо оценивать не обычным методом наименьших квадратов, по формуле Эйткена:

B =(X T Ω−1X )−1 X T Ω−1Y .

§ 2. Последствия гетероскедастичности

108