9.Что такое временной лаг?

10.Как ведет себя автокорреляционная функция стационарного

ряда?

11.Как называют график коэффициентов автокорреляции временного ряда?

12.Как ведут себя автокорреляционная и частная автокорреляционная функции модели AR(p)?

13.Как ведут себя автокорреляционная и частная автокорреляционная функции модели MA(q)?

14.Как ведут себя автокорреляционная и частная автокорреляционная функции модели ARMA(p, q)?

15.При каких значениях параметра процесс )=φ y(t −1)+εty(t

будет стационарным рядом?			y(t)=φ y(t −1)+εt
16. При	каких	значениях параметра процесс
будет случайным блужданием?			y(t)=φ y(t −1)+εt
17. При	каких	значениях параметра процесс

будет носить взрывной характер?

18.При каком преобразовании процесс ARIMA(p, k, q) преобразуется в стационарный ряд?

19.Каким образом процесс y(t)=φ y(t −1)+εt преобразуют в ста-

ционарный ряд?

20.Как ведут себя коэффициенты при лаговых переменных с ростом номера лага в модели Койка?

21.Как зависят параметры уравнения от номера лага в модели Алмон?

22.Каков порядок действий при оценке моделей, содержащих авторегрессию, в методе, предложенном Уоллисом?

ГЛАВА 10. СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: изучение видов систем одновременных уравнений и методов оценки их параметров.

Методические указания

204

Следует понять, чем различаются экзогенные и эндогенные переменные, структурная и приведенная формы модели. Необходимо научиться определять условия идентификации отдельного уравнения системы. Затем необходимо запомнить порядок действий и научиться применять косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

§ 1. Общие понятия

Системой одновременных уравнений называется набор взаимосвязанных регрессионных моделей, в которых одни и те же переменные могут одновременно (в различных уравнениях) играть роль зависимых и объясняющих переменных.

При рассмотрении систем одновременных уравнений переменные делятся на два больших класса — эндогенные и экзогенные. Эндогенные переменные — это переменные, значения которых определяются внутри модели. Экзогенные переменные — это внешние по отношению к модели переменные. Их значения определяются вне модели и поэтому они считаются фиксированными. С математической точки зрения, главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют со случайными отклонениями, а эндогенные могут коррелировать (и, как правило, коррелируют). Модель содержит также различного рода параметры (коэффициенты), которые определяются в ходе статистического оценивания путем обработки имеющейся информации.

Для экономистов интерес представляет количественный анализ модели, т. е. нахождение оценок параметров на основании имеющейся в распоряжении исследователя информации о значениях переменных. Здесь возникает следующая проблема идентифицируемости: можно ли в предложенной модели однозначно восстановить значение некоторого параметра или его определение принципиально невозможно на основе рассматриваемой модели? Прежде чем переходить к процедурам оценивания, необходимо быть уверенным, что их применение имеет смысл.

205

Уравнения, составляющие исходную модель, называют структурными уравнениями модели. Структурная форма модели — это система уравнений, отражающая связь между переменными в соответствии с положениями экономической теории и характеризующая структуру экономики или ее сектора. Параметры структурной формы модели называют структурными. Если модель содержит тождества, то без потери общности их можно назвать уравнениями, в которых структурные параметры при переменных равны 1.

Уравнения, в которых отражена схема определения эндогенных переменных, называются уравнениями в приведенной форме (приведенными уравнениями). Это уравнения, в которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные и лаговые значения эндогенных переменных, а также случайные составляющие. Экзогенные и лаговые эндогенные переменные называются предопределенными. Таким образом, в приведенной форме модели в общем случае эндогенные переменные выражены через предопределенные переменные.

Таким образом, приведенная форма модели — это система уравнений, в которой каждая эндогенная переменная есть линейная функция от всех предопределенных переменных модели. Для экономической интерпретации применяются структурные уравнения, для прогнозирования — приведенная форма.

Взаимозависимые эндогенные переменные без временного запаздывания будем обозначать Y1t, Y2t, …, Ymt. Эндогенные переменные с временным запаздыванием и экзогенные переменные (как с запаздыванием, так и без него) будем обозначать Y1t, Y2t, …, Ykt.

Не будем рассматривать модели, содержащие уравнениятождества, тогда общая форма модели имеет вид:

206

m	k
Y1t = ∑β1iYit + ∑γ1 j X jt +ε1t
i=2	j=0
m	k
Y 2t = ∑β2iYit + ∑γ2 j X jt +ε2t
i=1	j=0
i≠2	(10.1)
... ... ... ... ... ... ...
m−1	k
Y mt = ∑	βmiYit + ∑γmj X jt +εmt .
i=1	j=0

Здесь j = 0 соответствует свободному коэффициенту, полага-

ем, что Х0 = (1, 1, …, 1)..

В общем случае в силу теоретических соображений некоторые из коэффициентов β и γ должны быть равны нулю. Если это не

так, то статистическое оценивание окажется невозможным. Перенесем все выражения, кроме случайных отклонений, на ле-

вую сторону и запишем модель в матричной форме:

где

Y1t Yt = Y 2tY...

mt

BYt +ΓXt =εt ,

(10.2)

— вектор-столбец m×1 эндогенных переменных без временного запаздывания;

1 B = −β21

...

−βm1

−β12 ... −β1m

1 ... −β2m

... ... ...

−β12 ... 1

— матрица порядка m×m параметровпри текущих значениях эндогенных

переменных Y ;

207

1

X1t

— вектор-столбец (k +1)×1 предопределенных перемен-

Xt = X 2t

ных (экзогенные переменные с временным запаздыванием

...

и без него и эндогенные переменные с запаздыванием);

X kt

−γ

10

−γ

11

−γ

12

...

−γ

1k

— матрица порядка m×(k +1),

−γ

−γ

−γ

...

−γ

2k

состоящая из коэффициентов при

Γ =

20

21

22

...

...

... ... ...

предопределенных переменных X ;

−γ m0

−γ m1

−γ m2

...

−γmk

ε1t

ε

2t

— вектор-столбец m×1 случайных отклонений.

εt =

...

εmt

Если мы предположим, что матрица B невырожденная, то переменные Y можно выразить через переменные X.

BYt +ΓXt =εt , B−1B Yt + B−1ΓXt = B−1εt , Yt = −B−1ΓXt + B−1εt .

Тогда получим приведенную форму модели:

k

Y1t = ∑π1 j X jt +η1t j=0

k

Y 2t = ∑π2 j X jt +η2t j=0

... ... ... ... ... ...

k

Y mt = ∑πmj X jt +ηmt . j=0

208

В матричной записи приведенная форма имеет вид:

Yt = Π Xt + ηt ,

Π

ηt

π10

=π20

...

πm0

η1t = η2tη...

mt

	π11	π12	...	π1k		— матрица размерности m×(k +1)
	π21	π22	...
				π2k		параметров приведенной формы
	... ... ... ...
						при предопределенных X;
	πm1	πm2	...
				πmk

— вектор случайных отклонений приведенной формы модели.

Очевидно, что параметры структурной и приведенной формы модели связаны следующими соотношениями:

Π = −B−1Γ, ηt = B−1εt .

Из этих соотношений и из приведенной формы модели следует, что каждая из эндогенных переменных y1t , y2t ,..., ymt может, вообще

говоря, испытывать воздействие любого и каждого из случайных возмущений ε1t ,ε2t ,...,εmt . Поэтому, если в структурной форме мо-

дели какая-либо из эндогенных переменных y1t , y2t ,..., ymt стоит в

качестве объясняющей, то она почти обязательно коррелирует со случайным фактором этого уравнения. Корреляция между эндогенными объясняющими переменными и случайными возмущениями означает, что оценки, полученные обычным методом наименьших квадратов, будут несостоятельными.

Пример 10.1. Рассмотрим модель:

I t = β13V t +γ10 +γ11 I t −1 +ε1t ,

X t = β23V t +γ 20 +γ 22 K t +ε2t ,

V t = β32 X t +γ 30 +γ 31 I t −1 +ε3t ,

209

где I — инвестиционные затраты;

X — количество работающих; V — объем продукции;

K — стоимость основных производственных средств.

В данной модели I t , X t ,V t — эндогенные переменные, Kt — экзогенная переменная, I t −1 — предопределенная переменная (лаговая эндогенная). Перенесем все слагаемые, кроме случайных отклонений, в левую часть уравнений, получим:

I t − β13V t −γ10 −γ11 I t −1 =ε1t ,

X t − β23V t −γ 20 −γ 22 K t =ε2t ,

V t − β32 X t −γ 30 −γ 31 I t −1 =ε3t .

Матричная форма структурной модели имеет вид:

	1	0
	0	1
0		−β32

−β

−β

1

13				I t		−γ	10
		×				−γ
23			X t		+		20
			V t		−γ		30

−γ	11	0				1
0		−γ		×
			22		I t −1 .
−γ 31		0				K t

Приведенная форма модели имеет вид:

	I t			π10
		=
X t			π 20
V t				π 30

π11	π12		1	+	η1t
π 21		×			η	2t
	π 22	I t −1
π 31	π 32		K t		η	3t

⎟.

Выразим параметры приведенной формы через параметры структурной формы модели:

									1		− β		13		β		32			−	β		13
	1		0	− β			−1			1− β				23		β		32	1− β			23		β	32
					13															β
Β−1														1								23
	=	0	1	− β23				=	0																	,
										1		− β		23		β32			1− β23 β						32
		0	− β32	1
									0			β32									1
										1		− β23				β32			1− β23 β
																									32

210