Рассчитаем t-статистику и проверим значимость коэффициента корреляции:

t =			r xy			× n−2 =	0,161	× 10−2 =0,461.
	1−r2xy
						1-0,1612
Критическое значение t-статистики								при α=0,05 (n−2)=

=10−2=8 равно 2,306, следовательно между рассмотренными величинами нет заметной линейной связи.

§ 4. Нормальное (гауссовское) распределение

Данное распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. Пусть значения исследуемой непрерывной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов, причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер воздействия — аддитивный.

Функция плотности случайных величин подобного типа имеет вид:

		1			(x−μ)2			1		(x−μ)			2
2	)=		e	−			=
					2 σ	2
φ(x;μ,σ		2πσ						2πσ	exp −	2	σ	2		,

где μ и σ2 — параметры закона, интерпретируемые как математи-

ческое ожидание (среднее значение) и дисперсия данной случайной величины.

Соответствующая функция распределения нормальной случайной величины имеет вид:

	Φ(x;μ,σ2)=	1	x	(t−μ)	2
			∫e −	2σ 2	dt.
		2πσ
			−∞

Нормальный закон с функцией плотности

	1		x	2		1		x	2
φ(x;0,1)=		e−	2		=		exp −
	2π					2πσ		2

28

( μ=0 и σ2 =1) называют стандартным. Во многих случайных ве-

личинах, изучаемых в экономике, технике, медицине, биологии и в других областях, естественно видеть суммарный аддитивный эффект большого числа независимых причин.

Нормальный закон — это один из многих типов распределения, имеющихся в природе, правда, с относительно большим удельным весом практического применения. Полнота теоретических исследований, относящихся к нормальному закону, а также сравнительно простые математические свойства делают его наиболее привлекательным и удобным в применении.

В случае отклонения исследуемых экспериментальных данных от нормального закона существует, по крайней мере, два пути его целесообразной эксплуатации: а) использовать его в качестве первого приближения; при этом нередко оказывается, что подобное допущение дает достаточно точные с точки зрения конкретных целей исследования результаты; б) подобрать такое преобразование исследуемой случайной величины, которое видоизменяет исходный «не нормальный» законраспределения, превращая его внормальный.

Удобным для статистических приложений является и свойство «самовоспроизводимости» нормального закона, заключающееся в том, что сумма любого числа нормально распределенных случайных величин тоже подчиняется нормальному закону распределения.

		0,5
	ф(x;0,1)	0,4
		0,3
		0,2
		0,1
		0
-4	-2	0	2	4
		x

Рис. 1.1. График функции плотности стандартного нормального распределения

29

1,2

Ф(x;0,1)

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

Рис. 1.2. График функции стандартного нормального распределения

§5. χ2 (хи-квадрат)-распределение

Всвязи с гауссовской теорией ошибок астроном Ф. Хельмерт исследовал суммы квадратов нормально распределенных случайных

величин, придя таким образом к функции распределения F χ2(m)(x),

которую позднее К. Пирсон назвал функцией распределения «хиквадрат». Для отрицательных x функция F χ2(m)(x)=0 , а для неот-

рицательных x:

						x				t
F χ2(m)(x)=			1 m ∫t				m	− 1e	−
		m					2			2	dt,
		2
2			Γ	2		0

где m — число степеней свободы (целое положительное число), а

Γ(y)=∫∞ u y−1e−udu — значение гамма-функции Эйлера в точке y.

0

Соответствующая плотность вероятности задается функцией:

30

f

1

m

− 1

−

x

χ2(m)(x)=

2 , x >0.

x 2

e

m

m

2

2 Γ

2

При m≤2

функция плотности постоянно убывает (для x >0 ),

а при m>2 имеет единственный максимум в точке x =m−2 .

§ 6. Распределение Стьюдента (t-распределение)

Анализируя случайные отклонения выборочной средней x от истинного среднего значения исследуемой случайной величины ξ, английский статистик В. Госсет (писавший под псевдонимом «Стьюдент») получил следующий результат. Пусть ξ0, ξ1, ..., ξm —

независимые (0, σ2)-нормально распределенные случайные величины. Тогда плотность распределения случайной величины:

описывается функцией:

f t (x)=

t (m)=			ξ0
		1		m	2
				∑	ξi
		m i=1

m+1

1Γ 2 πm × m × 1+

Γ

2

m+1

x2 − 2 m

(−∞<x <+∞) .

Распределение получило название распределения Стьюдента с m степенями свободы (или t (m)-распределения). Функция плотно-

сти распределения Стьюдента не зависит от дисперсии σ2 случайных величин ξi , кроме того является унимодальной и симметричной относительно точки x =0 .

31