1

−

β

13

β

32

− β

13

1− β23 β32

1− β

23 β

32

−γ10 −γ

0

1

β

23

11

Π = −Β−1Γ = −

0

×

−γ20

0

−γ22

=

1− β23 β32

1− β23 β

32

−γ30 −γ

0

0

β32

1

31

1− β23 β32

1− β23 β

32

γ

20

β

13

β

32

+γ

30

β

13

γ

31

β

13

γ

22

β

13

β

32

−γ10

1−β23β

−γ11 1− β23 β32

32

1− β23 β32

−γ 20−γ30β23

−γ31β23

−γ32

= −

,

1−β23

β32

1− β23 β32

1− β23 β32

−γ

20

β

32

−γ

30

−γ

31

−

γ

22

β

32

1−β23β32

1− β23 β32

1− β23 β32

−ε

2t

β

13

β

32

−ε

3t

β

13

ε1t

+

1− β23 β32

= Β−1εt =

ε

2t

+ε

3t

β

23

η

.

1− β23 β32

t

ε2t β32 +ε

3t

1− β23 β32

§ 2. Идентификация структурной формы модели

Проблема идентифицируемости относится к структурным параметрам, а не к параметрам приведенной формы. Она может быть сформулирована следующим образом: можно ли в предположении, что элементы матрицы Π известны, однозначно определить некоторые или все элементы матриц B и Γ.

Структурный коэффициент идентифицируем, если он может быть вычислен на основе коэффициентов приведенной формы. Соответственно какое-либо уравнение в структурной форме модели будем называть идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Проблема идентифицируемости логически предшествует задаче оценивания.

211

Данное уравнение системы точно идентифицировано, если его структурные параметры однозначно определяются по приведенным коэффициентам. Структурные параметры такого уравнения можно найти косвенным методом наименьших квадратов.

Если из приведенной формы модели можно получить несколько оценок структурных параметров, то уравнение сверхидентифицировано. Структурные параметры такого уравнения определяются

двухшаговым методом наименьших квадратов.

Если структурные параметры уравнения модели нельзя найти через приведенные коэффициенты, то такое структурное уравнение называется неидентифицируемым, а численные оценки его параметров найти нельзя.

С точки зрения взаимосвязи между эндогенными переменными, не имеющими временного запаздывания, системы одновременных уравнений подразделяют на простые модели, рекурсивные модели и модели с взаимосвязанными переменными. Класс модели определяется путем исследования матрицы B структурных параметров, находящихся при эндогенных переменных.

Если матрица B диагональная или становится такой после перенумерации уравнений модели, то модель называется простой. В таких моделях отсутствуют взаимосвязи между эндогенными переменными. Ни в одном уравнении такие переменные не выступают в роли объясняющих переменных. Каждое уравнение такой модели можно рассматривать отдельно и оценивать обычным методом наименьших квадратов.

Если матрица B треугольная или становится такой после перенумерации уравнений модели либо изменения места переменных в уравнениях, то модель называется рекурсивной. В моделях этого класса в каждом конкретном уравнении в роли объясняющих переменных могут присутствовать только те эндогенные переменные, которые в предыдущих уравнениях присутствовали в качестве зависимых.

В остальных случаях имеем модель с взаимозависимыми уравнениями, для которой обычный метод наименьших квадратов не применим.

212

Первый шаг эконометрического исследования состоит в спецификации того, что мы хотели бы считать реалистической моделью изучаемой системы. Такие модели, если они линейны, могут быть записаны в общей форме:

B Yt + ΓXt = εt .

Спецификация опирается на имеющиеся экономические теории, на специальные знания или на интуитивные представления исследователя о системе. Эти априорные сведения определяют природу матриц B и Г. Например, информация о том, что определенные переменные непосредственно не участвуют в спецификации некоторого уравнения, означает равенство нулю соответствующих элементов в строках матриц B и Г, содержащих коэффициенты данного уравнения. Дополнительные сведения о системе могут иметь вид ограничений на комбинации элементов матриц. Кроме того, имеются предположения о случайных возмущениях. Все экзогенные переменные не коррелируют со случайными факторами ε1t ,ε2t ,...,εmt . Обычно принимается дополнительное предположение, что входящие в вектор-столбец Х лаговые значения эндогенных переменных тоже не коррелируют с элементами ε1t ,ε2t ,...,εmt .

Отсюда следует отсутствие автокорреляции случайных возмущений. Если мы применим обычный метод наименьших квадратов к каждому уравнению приведенной формы модели, объединим результаты, и получим матрицу оцененных коэффициентов приве-

денной модели (X T X )−1 X T Y, то оценки будут состоятельными.

Тогда проблема идентификации относится к структурным параметрам и формулируется следующим образом: можно ли в предположении, что элементы матрицы П оценены однозначно, определить некоторые или все элементы матриц B и Г.

Прежде всего, необходимо выполнение следующего условия идентифицируемости: число уравнений системы должно быть

равно числу анализируемых эндогенных переменных, а матрица B должна быть невырожденной (т. е. ее определитель не равен

нулю и существует обратная матрица Β−1).

213

Необходимо, чтобы матрица наблюдений предопределенных (экзогенных и лаговых эндогенных) переменных

1		x12 ...	x1k
	1	x22 ...
			x2k
X =		... ...	...
...
	1	xn2 ...
			xnk

имела ранг (k + 1). При этом число наблюдений n(t=1, …, n) должно существенно превышать общее число анализируемых перемен-

ных (m + k).

Можно доказать следующее условие: число априорных огра-

ничений должно быть не меньше числа уравнений модели, уменьшенного на единицу.

Когда в качестве ограничений выступают только исключающие ограничения, необходимое условие идентифицируемости отдель-

ного уравнения следующее: число переменных, исключенных из уравнения, должно быть, по меньшей мере, равно числу уравнений модели без единицы. Отметим, что среди исключающих априорных ограничений не должно быть одинаковых.

Это необходимое условие может быть записано в альтернативной форме: число исключенных из уравнения предопределенных пере-

менных (экзогенных и лаговых эндогенных) должно быть не меньше числа участвующих в нем эндогенных переменных, уменьшен-

ного на единицу. Для того, чтобы определить, идентифицировано ли структурное уравнение модели, по каждому уравнению и модели в целом подсчитывают: k — число предопределенных переменных модели, ki — число предопределенных переменных в уравнении, mi — число эндогенных переменных в уравнении. Далее для каждого уравнения вотдельности проверяютследующее соотношение:

k −ki ≥mi −1.

Если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, строго больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение, минус 1:

k −ki >mi −1,

то уравнение сверхидентифицировано.

214

Если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение, минус 1:

k −k i =mi −1 ,

то уравнение точно идентифицировано.

Если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, строго меньше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение, минус 1:

k −k i <mi −1 ,

то уравнение неидентифицировано.

Нет необходимости исследовать на идентификацию тождества модели, поскольку их структурные параметры известны и равны 1. Однако переменные, входящие в тождества, учитываются при подсчете числа эндогенных и предопределенных переменных модели.

Следующее условие является необходимым и достаточным для идентификации отдельного уравнения системы.

Для того чтобы i-е уравнение, входящее в состав модели из m взаимозависимых эндогенных переменных, было идентифицируемым, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы Ai параметров при переменных, входящих в состав модели (эндогенных и предопределенных), но не присутствующих в i-м уравнении, был равен (m–1).

Пусть di — количество переменных модели, не входящих в i-е уравнение. Если d i =m−1, то i-е уравнение считается однозначно идентифицируемым. Если d i >m−1, то i-е уравнение считается неоднозначно идентифицируемым. Если d i <m−1, то i-е уравнение считается неидентифицируемым.

Прежде чем оценивать параметры модели с взаимозависимыми уравнениями, необходимо исследовать идентифицируемость отдельных уравнений. Вся модель считается идентифицируемой, если идентифицируемы все уравнения.

215

Пример 10.2. Задана модель:

Y Y Y

1t

2t

3t

=β12Y 2t + β13Y 3t +γ10 +γ11 X 1t +ε1t ,

=β21Y1t +γ 20 +γ 22 X 2(t −1) +ε2t ,

=β32Y 2t +γ 30 +γ 31 X 1t +γ 33 X 3(t −1) +ε3t ,

где Y1t — объем продукции;

Y2t — стоимость основных производственных фондов; X1t — поставки сырья;

X2(t-1) — объем инвестиций в предыдущем году; X3(t-1) — количество работающих в предыдущем году. Запишем модель в виде:

Y Y Y

1t

2t

3t

−β12 Y 2t − β13Y 3t −γ10 −γ11 X 1t =ε1t ,

−β 21Y1t −γ 20 −γ 22 X 2t −1 =ε2t ,

−β32 Y 2t −γ 30 −γ 31 X 1t −γ 33 X 3t −1 =ε1t .

Исследуем идентифицируемость первого уравнения. В него не входят переменные X 2t −1, X 3t −1. Матрица A1 параметров при этих переменных имеет вид:

A1	= −γ 22	0	.
	0	−γ	33

Определитель равен A1 =γ 22 γ 33 ≠ 0, следовательно, ранг A1

равен 2. Модель состоит из трех уравнений (содержит три эндогенные переменные), поэтому выполняется условие:

rang (A1)=2, m -1=3−1=2, rang (A1)= m -1; d1 =2, m−1=2, d1 =m−1.

Таким образом, первое уравнение системы однозначно идентифицируемо.

Рассмотрим идентифицируемость второго уравнения. В него не входят переменные Y 3t , X 1t , X 3t −1 . Матрица A2 имеет вид:

		− β	13	−γ	11	0
A2	=
		1		−γ 31		−γ	.
							33

216