Решение

Решение задачи упрощается, если заданные процессы изобразить на , – диаграмме (см. рис. 20). Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

Q = ΔU + A, (1)

В данной задаче на участке 1 – 2 (изохора) объем не изменяется (рис. 20) и работа = 0 (см. (10Ф), где dV = 0). Следовательно, работа совершается газом только на участке 2 – 3 при изобарном расширении А₂₃ = А = P₂(V₂ – V₁). Используем формулу работы газа для изобарного процесса (см. (11Ф)), где для нашей задаче ΔТ = Т₁ – Т₂ (см. рис. 20). В результате получим:

A = νR(T₁ – T₂), (2)

Применяя уравнения Менделеева–Клапейрона (2Ф) к состояниям газа 1 и 2 при изохорном процессе (см. рис. 20), получим:

откуда, учитывая условие задачи,

Подставим эту формулу в уравнение (2), и найдем работу, совершенную газом в данном процессе:

Приращение внутренней энергии (см. (8Ф))

где – число степеней свободы. В данном сложном процессе начальная и конечная температуры равны (на рис. т. т. 1 и 3), следовательно, Тогда из (1) искомое количество теплоты. Учитывая формулу (3), получим:

Пример 5. Водород массойm = 20,0 г находится при температуре = 300 К. Его объем при адиабатическом процессе увеличился в n = V₂/V₁ = 5,00 раз, затем при изотермическом процессе уменьшился до прежнего значения. Найти: температуру в конце адиабатического расширения; работу газа и приращение внутренней энергии при этих процессах.

Решение

Процессы расширения и сжатия газа изобразим графически в системе координат (см. рис. 21). Параметры газа можно определить из уравнений адиабатического и изотермического процессов. При адиабатическом процессе температура и объем газа в состояниях1 и 2 связаны между собой уравнением Пуассона (14Ф)

откуда, учитывая условие задачи, получим:

где постоянная адиабаты . Для молекулярного водорода (число степеней свободы= 5) молярная теплоемкость при постоянном давлении (7Ф) , гдеR = 8,31 Дж/(моль^.К) – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Молярная теплоемкость при постоянном объеме , тогдаγ = 1,4. Подставляя это значение γ в (1), найдем температуру: = 158 К. Работа газа при адиабатическом расширении (см. (13Ф), где число молей ν = m/M)

Учли, что молярная масса водорода кг/моль (находится из таблицы). Работа газа при изотермическом процессе (12Ф) для нашей задачи (см. рис. 21)

Учитывая условие задачи и выражение (1), найдем работу при изотермическом сжатии:

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами. Для определения приращения внутренней энергии газа при адиабатическом процессе воспользуемся первым началом термодинамики (9Ф)

В данном процессе = 0, и приращение внутренней энергии при адиабатическом расширении с учетом (2) равно

ΔU₁ = – A₁ = – 29,5 кДж.

При изотермическом процессе Т = const и = 0. Следовательно,

Пример 6. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя вn = 1,6 раза больше температуры холодильника . За один цикл машина производит полезную работу А = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается внешними силами на изотермическое сжатие рабочего тела?