Решение

m = 10,0 кг,

= 3,00 кг,

= 200 м/с,

= 400 м/с,

.

β = ?

Система «снаряд осколки» не является замкнутой, т. к. на тела

системы действует сила тяжести. Если рассматривать суммарный импульс осколков сразу после разрыва, то он будет равен импульсу снаряда непосредственно до разрыва. Это следует из того, что за время разрыва снаряда импульсы осколков практически не изменяются. Таким образом, к нашей системе можно применить закон сохранения импульса (см. (18Ф))

Здесь импульс снаряда до разрыва;,импульсы осколков. Импульсы осколков и снаряда, показаны на рис. 8 в соответствии с законом сохранения импульса системы «снарядосколки». Спроектируем (1) на оси координат (см. рис. 8)

где искомый угол, под которым полетела к горизонту вторая часть снаряда, находится из уравнений (2) и (3)

Скорость второй части находим из уравнения (3)

Подставляя числовые данные задачи в (4) найдем: . Тогда из формулы (5) найдем= 250 м/с.

Задачу можно решить также с использованием теоремы косинусов. Из рис. 8 видно

откуда находим . Уголнаходим также из теоремы косинусов

откуда

При этом закон сохранения импульса (1) используется при построении треугольников, к которым применялась теорема косинусов.

Пример 10. Тело массой соскальзывает без трения по наклонному желобу, переходящему в окружность. Тело соскальзывает с наименьшей высоты, необходимой для совершения полного оборота. Найти силу давления на желоб в точкеА, радиус-вектор которой составляет угол с вертикалью. Из полученного решения определить силу давления тела на желоб в верхнейВ и нижней С точках петли.

.

Решение

Искомая сила давления по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакцииN (см. рис. 9)

Величина N находится из второго закона Ньютона (12Ф), записанного в проекциях на ось X для тела, находящегося в точке А (см. рис. 9),

где скорость тела в точкеА; R радиус окружности, по которой движется тело;v²/R – нормальное ускорение тела в точке А.

D

В системе «телоЗемля» отсутствуют силы трения и сопротивления, следовательно, можно использовать закон сохранения энергии (25Ф). В точкеD тело обладает потенциальной энергией (23Ф)

= mg , (3)

где наименьшая высота, необходимая для совершения полного оборота. В точкеА полная энергия тела состоит из потенциальной (см. (23Ф)) и кинетической (20Ф) энергии

где (см. рис. 9). Тогда

По закону сохранения энергии , или, учитывая (3) и (4), получим:

Тело скатывается с наименьшей высоты , необходимой для совершения полного оборота. Следовательно, в наивысшей точке траектории (точкаВ, рис. 9) на тело действует только сила тяжести (состояние невесомости). Применим второй закон Ньютона в этой точке

и закон сохранения энергии для положений тела в точках D и В

Из (6) и (7) имеем

Подставив (8) в (5), получим:

Из уравнений (2) и (9) с учетом (1) найдем искомое давление

Угол отсчитывается от вертикали по часовой стрелке. Следовательно, в верхней точке петли (точкаВ) ₌ 0 и 0. (см. (10)). Этот результат мы ранее использовали при нахождении (6) и получили его из физических соображений (тело скатывается с минимальной высоты, необходимой для совершения полного оборота). Для нижней точки петли (точкаС) угол = , тогда из (10) следует

Пример 11. Тело массой M лежит на вершине гладкой полусферы радиуса R. В тело попадает пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью , и застревает в нем. Пренебрегая смещением тела во время удара, найти высотуh, на которой оно оторвется от поверхности полусферы. Высота отсчитывается от основания полусферы. При какой скорости пули тело сразу оторвется от полусферы?

M ,

m,

R,

.

₌ ?

Решение

Полусфера гладкая, поэтому в системе «телоЗемля» сила трения отсутствует. Сила сопротивления воздуха также не учитывается. Следовательно, можно использовать закон сохранения энергии (25Ф). Полная энергиятела вместе с пулей сразу после удара равна энергиитела с пулей в момент отрыва от полусферы. Энергиянаходится в точке1 на вершине полусферы (см. рис. 10)

Здесь скорость тела с пулей сразу после удара пули. Энергиянаходится в точке2 в момент отрыва от полусферы (см. рис. 10)

где скорость в момент отрыва от полусферы. По закону сохранения энергии= , или, учитывая уравнения (1) и (2), получим:

Скорость найдем из закона сохранения импульса (17Ф)

Откуда скорость тела вместе с пулей

Необходимо заметить, что кинетическая энергия пули не равна кинетической энергии тела с застрявшей в нем пулей. Это объясняется тем, что в системе «пулятело» во время удара (время движения пули в теле) действует сила трения, работа которой приводит к уменьшению (диссипации) кинетической энергии системы. Для определения скоростиприменим второй закон Ньютона в точке2 в проекциях на ось X (рис. 10)

где . Тогда из (6)

, (7)

откуда видно, что на бóльшей высоте h тело отрывается с бóльшей скоростью. Подставим выражения (5), (7) в (3) и из полученного равенства найдем искомую высоту

Для определения скорости пули , при которой тело сразу отрывается от полусферы, воспользуемся законом сохранения импульса в проекциях на горизонтальное направление

где скорость тела вместе с пулей в момент отрыва от полусферы. Скоростьнайдем из второго закона Ньютона. При этом учтем, что на тело действует только сила тяжести (состояние невесомости).

Из (8) и (9) получим скорость пули, при которой тело сразу отрывается от полусферы

Пример 12. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами = 100 г и ₌ 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы. Трением и массой нити пренебречь.