Примеры решения задач

Пример 1. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами за некоторое время. Половину этого времени он шел со скоростью В оставшееся время половину пути он шел со скоростью, а вторую половинусо скоростью. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути между городами.

Решение

.

Изобразим траекторию прямолинейного движения автомобиля и отложим на ней пути ,,, проходимые автомобилем за время,,соответственно со скоростью,,(см. рис. 1). Средняя скорость автомобиля на всем путиs находится по формуле (2Ф)

где

, ,. (2)

По условию задачи , или с учетом (2)

. (3)

Из условия задачи видно так же

. (4)

Тогда (1) запишется

Пройденные пути s₁ и s₂ берутся из уравнений (2). С учетом (4) путь s₂ = v₂ (t₁ ^– t₃), где t₃ = s₃/v₃ (см. (2)). Учитывая s₃ = s₂, получим:

s₂ = v₂ (t₁ ^– s₂/v₃).

Откуда

Учитывая это выражение и путь из уравнений (2), находим из (5) искомую среднюю скорость:

Пример 2. Жонглер бросил вертикально вверх мячик. Когда мячик достиг верхней точки своего подъема = 4,9 м, жонглер бросил вверх второй мячик с той же начальной скоростью . На какой высоте встретятся тела?

₌ 4,9 м.

Решение

Воспользуемся формулой координаты при равноускоренном движении (см. (7Ф), где x = y). Время отсчитывается с момента броска второго тела. В этот момент начальная координата первого тела y₀ = h_м (рис. 2). Проекция ускорения свободного падения на ось Y будет отрицательной, т. к. ускорение g направлено против оси Y. С учетом этого координаты первого и второго тел запишутся следующим образом:

Из уравнений (7Ф) при x = y найдем начальную скорость второго тела . Подставляя это выражение в (2), получим:

В момент встречи , откуда, учитывая (1) и (3), найдем время, через которое тела встретятся

. (4)

При координата. Тогда из (1) найдем

Подставляя сюда (4), получим искомую высоту:

Тот же результат получится, если использовать координату (3).

Пример 3. Из одной точки одновременно бросили два тела под углами ик горизонту с начальными скоростямии. Траектории тел лежат в одной плоскости (рис. 3). На каком расстоянииl друг от друга будут находиться тела через время

.

l

Решение

В отсутствии сопротивления воздуха движение тел является свободным падением, происходящим по параболе. На рис. 3 показаны примерные траектории движения тел и их положение через заданное время (точки А и В). Искомое расстояние между телами l = АВ = , или через координаты тел (точек)

. (1)

Используя формулу координаты для заданных движений (см. (7Ф)), найдем:

, ,

Подставляя эти координаты в (1) и, используя формулу из тригонометрии

() = + ,

получим:

(2)

Учитывая числовые данные, найдем: l = 30 м. Интересно отметить, что квадратный корень в выражении (2) представляет собой модуль относительной скорости тел (см. рис. 4). В этом легко убедиться, применяя теорему косинусов к треугольнику скоростей

(3)

Видно, что не зависит от времени, т. е. при движении скорость одного тела относительно другого по модулю остается постоянной. Тогда, учитывая (3), расстояние между телами можно выразить через относительную скорость:.

Пример 4. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = A + Bt + C, где A = 10 рад, B = 20 рад/с, C = 2,0^рад/Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянииR = 0,10 м от оси вращения, для момента времени t = 4,0 с.