Решение

= A + Bt + C

A = 10 рад,

B = 20 рад/с,

C = 2,0 рад/,

R = 0,10 м,

t = 4,0 с.

а

Полное ускорение точки, движущейся по окружности, равно геометрической сумме тангенциального ускорения, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения, направленного к центру окружности (рис. 5)

Так как векторы ивзаимно перпендикулярны, то модуль ускорения (см. (11Ф))

Модули тангенциального и нормального ускорений точки вращающегося тела выражаются формулами

, , (2)

где β, ω модули углового ускорения и угловой скорости. Подставляя выражения (2) в формулу (1), получим:

(3)

Угловую скорость найдем, взяв первую производную угла поворота по времени (см. условие задачи). Тогда в момент времени t = 4,0 с модуль угловой скорости

₌ d/dt = B + 2Ct = 4,0 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени,

= d/dt = 2C = 4,0 рад/.

Подставляя числовые значения ,иR в формулу (3), найдем: a ₌ 1,6 м/.

Пример 5. На тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент времени t₀ = 0 начала действовать сила, зависящая от времени, F = kt, где k ^– постоянная величина. Направление этой силы все время составляет угол с горизонтом (см. рис. 6). Найти:а) скорость тела в момент отрыва от плоскости; б) путь, пройденный телом к этому моменту.

m,

.

Решение

На тело действуют: сила F; сила тяжести mg и сила реакции N (рис. 6). Сила трения отсутствует, т. к. поверхность гладкая. Под действием этих сил тело движется с ускорением а ₌ dv/dt вдоль оси X. Применим второй закон Ньютона (см. (12Ф))

или в проекциях на оси X, Y

Учли условие задачи . Из уравнения (2) имеем

После интегрирования получим скорость тела

В момент отрыва от плоскости N = 0 и из уравнения (3) находим время отрыва

Подставляя это время в (4), найдем скорость тела в момент отрыва от плоскости:

Путь, пройденный телом (см. (3Ф), первая формула). Учитывая (4), запишем:

Подставляя сюда время отрыва (5), найдем путь, пройденный телом к моменту отрыва от плоскости:

Пример 6. Частица массой m в момент t = 0 начинает двигаться под действием силы , гдеипостоянные величины. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от времениt.

.

Решение

Используем второй закон Ньютона (12Ф)

Учитывая условие задачи, запишем:

После интегрирования в пределах от 0 до t получим

Путь, пройденный частицей за время t (см. (3Ф)),

Подставим в эту формулу выражение (1) в скалярном виде

Выполняя интегрирование в указанных пределах, найдем путь

Пример 7. Искусственный спутник Земли имеет круговую орбиту, удаленную от поверхности Земли на расстояние h = 260 км. Определить период обращения спутника Т относительно центра Земли. Радиус Земли R = 6,4км.

Решение

R = 6,4.

На искусственный спутник Земли (ИЗС) действует только сила притяжения (тяготения) к Земле (силой тяготения со стороны Луны и Солнца пренебрегаем), которая сообщает спутнику нормальное (центростремительное) ускорение (см. (8Ф), вторая формула)

где скорость спутника относительно центра Земли;радиус круговой орбиты спутника. Применим второй закон Ньютона для ИЗС

, (2)

где m масса спутника;сила тяготения, определяется законом всемирного тяготения (14Ф). Для данной задачи

где гравитационная постоянная;масса Земли. Учитывая (1) и (3), из второго закона Ньютона (2) найдем:

(4)

Применяя второй закон Ньютона (12Ф) к свободно падающему телу, находящемуся у поверхности Земли (h = 0), получим с учетом (3):

Поделив (4) на (5), найдем скорость ИЗС

Полагая движение спутника по круговой орбите равномерным, запишем (см. (2Ф)):

Из (6) и (7) найдем период обращения спутника

Если положить ускорение свободного падения g ₌ 9,8 м/, то получимT = 90 мин.

Пример 8. Лодка массой m стоит неподвижно на поверхности озера. На корме и на носу лодки на расстоянии l друг от друга сидят два рыбака массами и . Для улучшения клева рыбаки меняются местами. В какую сторону и на какое расстояние переместится лодка?

m,

,

,

l.

Решение

Система «лодкарыбаки» не является замкнутой, т. к. на нее действуют внешние силы: сила тяжести и сила Архимеда. Эти силы уравновешивают друг друга, а сила трения лодки о воду пренебрежимо мала по сравнению с силами взаимодействия рыбаков с лодкой (внутренние силы). Поэтому можно применить закон сохранения импульса (17Ф). Импульс системы до начала движения рыбаков равен нулю. Следовательно, после начала движения суммарный импульс также равен нулю

где ,,скорости лодки и рыбаков относительно воды. Допустим,и лодка движется в направлении перемещения рыбака с меньшей массойm₂ (см. рис. 7, где цифрами 1 и 2 обозначены положения рыбаков после перемещения лодки). Тогда равенство (1) в проекциях на ось X запишется

Из рис. 7 видно

где s модуль перемещения лодки;t время движения лодки и рыбаков, которое одинаково для всех тел. Подставляя (3) в (2), найдем:

При условии и для выбранного направления осиX имеем

Полученные решения можно объединить в одну формулу, если ввести проекцию перемещения лодки на ось Х

При проекция0 и лодка перемещается влево При,0 и лодка перемещается в противоположную сторону.

Пример 9. Снаряд массой m = 10,0 кг летит горизонтально со скоростью = 200 м/с и разрывается на две части (осколки). Одна часть массой = 3,00 кг полетела вперед под углом к горизонту со скоростью= 400 м/с. С какой скоростью и в каком направлении полетела вторая часть снаряда?