Решение

Равновесие заряда возможно, если векторная сумма сил, действующих на него, рана нулю. Следовательно, для нашего случая на заряддействуют две силы, равные по модулю и противоположные по направлениюили

F₁ = F₂. (1)

Учитывая величины и знаки зарядов q₁ и q₂, легко сообразить, что условие (1) выполняется в точке C, находящейся на прямой, проходящей через эти заряды и расположенной справа от заряда q₂ (см. рис. 22, где заряд q₃ > 0).

Используя закон Кулона (18Ф) и обозначения на рис. 22, запишем модули сил взаимодействия заряда q₃ с зарядами q₁ и q₂ (см. рис. 22):

(2)

С учетом этих формул, уравнение (1) примет вид:

Откуда, учитывая условие задачи, получим: х = r = 10 см. Нашли положение точки (т. С на рис. 22), в которой заряд q₃ находится в равновесии. Если, при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в прежнее положение, то равновесие называется устойчивым. Найдем знак заряда q₃, при котором равновесие будет устойчивым.

Возьмем отношение сил Кулона (2)

При смещении заряда из положения равновесия (т.C на рис. 22) вправо, расстояние x увеличивается, а отношение уменьшается (см. (3)). Следовательно,уменьшается быстрее, чеми равнодействующая сил,направлена вправо от положения равновесия, т. е. зарядпод действием этой силы будет удаляться от точкиС. При смещении заряда влево величинаx уменьшается (рис. 22), а отношение увеличивается (см. (3)). Следовательно,возрастает быстрее, чем. Это означает, что равнодействующая этих сих направлена влево от положения равновесия и зарядбудет смещаться также влево. Таким образом, когдапри его смещении от положения равновесия, заряд не возвращается в прежнее положение. Следовательно, равновесие заряда будет неустойчивым.

Если заряд q_{3 < 0}, то сила притяжения со стороны зарядаq₁ будет направлена влево, а сила отталкивания со стороны зарядаq₂ направлена вправо (см. рис. 23). При смещении заряда q₃ вправо (x увеличивается) из (3) видно, что F₂/F₁ уменьшается, т. е. сила уменьшается быстрее, чем(F₂ < F₁) и их равнодействующая направлена влево от точки равновесия C. Под действием этой силы q₃ будет смещаться также влево, т. е. возвращаться к положению равновесия (т. С). При смещении q₃ влево (x уменьшается) отношение F₂/F₁ увеличивается (см. (3)) и F₂ > F₁. Равнодействующая этих сил направлена вправо и заряд q₃ будет возвращаться к положению равновесия (т. С на рис. 23). Следовательно, при q₃ < 0 равновесие заряда будет устойчивым. Величина заряда на его равновесие не влияет (см. (3)).

Если заряды q₁ и q₂ не закреплены, и заряд q₃ и вся система зарядов находиться под действием только кулоновских сил, то такая система всегда находится в неустойчивом равновесии (теорема Ирншоу).

Пример 11.Тонкий прямой стержень длинойзаряжен равномерно зарядом. Найти модуль напряженности электрического поля и потенциал поля в точке на прямой, совпадающей с осью стержня и находящейся на расстоянииот его центра.

Решение

,

,

.

= ? ?

Выделим на заряженном стержне малый элемент dx (см. рис. 24). Заряд dq из-за малости этого элемента можно считать точечным. Модуль напряженности поля точечного заряда dq равен (см. (20Ф))

Заряд выразим через линейную плотность заряда стержня, где. С учетом этого, выражение (1) запишется:

Из условия задачи ясно, что напряженности от всех элементов стержня направлены в одну сторону и принаправлены против осиX (см. рис. 24). Поэтому для нахождения модуля напряженности поля от всего стержня нужно выражение (2) проинтегрировать по всей его длине от до(см. рис.), т. е. воспользоваться принципом суперпозиции

Осуществляя интегрирование в указанных пределах, получим искомый модуль напряженности:

Отсюда при следует

Получили напряженность поля точечного заряда, т. е. заряженный стержень при можно считать точечным зарядом.

Для нахождения потенциала поля заряженного стержня запишем потенциал поля точечного заряда (см. (24Ф), где φ= dφ, q = dq, r = x)

Воспользуемся, как и при нахождении модуля напряженности , принципом суперпозиции, т. е. проинтегрируем (3) по всей длине стержня отдо(см. рис.). В результате получим искомый потенциал

Пример 12. Заряд равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом. Найти напряженность электрического поляЕ на оси кольца в точке, находящейся на расстоянии а от его центра.