Решение

= 50 см/,

= 2 с,

= 5 см.

Запишем кинематическое уравнение гармонических колебаний точки (см. (39Ф))

Проекция ускорения на ось равна второй производной от координатыпо времени (см. (5Ф))

откуда видно, что максимальное ускорение

Учитывая

найдем из (2) амплитуду колебаний:

Начальная фаза находится из (1) приt = 0

откуда с учетом (4)

Используя (3) (5), запишем уравнение гармонических колебаний точки (1) через данные задачи:

Учитывая числовые данные задачи, получим искомое уравнение с числовыми коэффициентами:

5(см).

Пример 15. Частица, движущаяся со скоростью ₌ 0,99 с (с – скорость света в вакууме) в неподвижной системе отсчета K, пролетела от места своего рождения до точки распада расстояние l = 3,0 км. Определить собственное время жизни частицы

= 0,99 с,

с = 3^.10⁸ м/с,

l = 3,0 км = 3,0м.

Решение

Используем относительность времени в специальной теории относительности (СТО)

(1)

где время, измеренное по часам, находящимся в неподвижной системе отсчетаK (лабораторная система); собственное время (в задаче собственное время жизни частицы), измеряется по часам, движущимся вместе с частицей, с которой связана подвижная система отсчета. Учитывая, что= l/, найдем из (1) собственное время жизни частицы

Пример 16. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы массой m = 1,0 кг от = 0,60 с до = 0,80 с _{(с =} 3,0^.10⁸ м/с – скорость света в вакууме)? Сравнить полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле.

m ₌ 1,0 кг,

₌ 0,60 с,

₌ 0,80 с.

Решение

Искомая работа равна приращению кинетической энергии частицы

. (1)

Скорость частицы сравнима со скоростью света, поэтому надо использовать релятивистскую формулу (46Ф)

С учетом этой формулы работа (1) запишется:

После вычислений получим:

3,8.1016 Дж.

Если использовать нерелятивистскую формулу кинетической эне­ргии , то получим величину работы в три раза меньшую

Таблица вариантов к контрольной работе № 1

Таблица содержит варианты для специальностей, учебными планами которых предусмотрено четыре контрольных работы.

Вариант	Номера задач
	1	2	3	4	5	6
0	101	111	121	131	141	151
1	102	112	122	132	142	152
2	103	113	123	133	143	153
3	104	114	124	134	144	154
4	105	115	125	135	145	155
5	106	116	126	136	146	156
6	107	117	127	137	147	157
7	108	118	128	138	148	158
8	109	119	129	139	149	159
9	110	120	130	140	150	160

Задачи для самостоятельного решения

101. Теплоход идет по реке от одного пункта до другого со скоростью 12 км/ч относительно берега, а обратносо скоростью20 км/ч. Найти среднюю скорость теплохода относительно берега и скорость течения реки. Скорость теплохода относительно воды считать постоянной.

102. Автомобиль прошел половину пути со скоростью . На остальной части пути он половину времени двигался со скоростью, а оставшийся участок^– со скоростью . Найти среднюю скорость за все время движения автомобиля.

103. Вертикально вверх с интервалом времени τ брошены два шарика с одинаковой скоростью из одной и той же точки. Через какое время после броска второго шарика они столкнутся?

104. Под каким углом к горизонту необходимо бросить тело, чтобы: а) центр кривизны вершины его траектории находился на земной поверхности; б) радиус кривизны начала его траектории был в η = 8,0 раза больше, чем в вершине?

105. Частица движется в плоскости ХY по закону , , гдеи– положительные постоянные. Найти:а) уравнение траектории частицы ;б) скоростьи ускорениеa в зависимости от времени .

106. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое под углом к горизонту. Начальная скорость каждого тела25 м/с. Найти расстояние между телами через времяt = 1,7 с.

107. Тело бросили под углом к горизонту со скоростьюм/с. Найти нормальноеa_n и тангенциальное ускорения через времяt = 5 c после начала движения тела?

108. Две частицы движутся с ускорением свободного падения g в однородном поле тяжести. В начальный момент времени частицы на­ходились в одной точке и имели скорости 3,0 м/с и4,0 м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент времени, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными.

109. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где. Через, сколько времени после начала вращения полное ускорение произвольной точки тела будет составлять уголс ее скоростью?

110. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, при этом угол его поворота зависит от времени как= , где= 0,20 рад/. Найти полное ускорениеa точки на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если скорость точки в этот момент = 0,65 м/с.

111. На частицу действует сила , гдеi, j орты осей Х, У. Найти импульс частицы в момент времени = 2,0 с.

112. Аэростат массой m = 250 кг начал опускаться с ускорением . Найти массу балласта, который надо сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вертикально вверх. Сопротивление воздуха не учитывать.

113. В установке, показанной на рис. 13, массы тел равны , массы блока и нитей пренебрежимо малы. Трение в блоке не учитывать. Найти ускорение, с которым опускается тело массой, и силу натяжения нити, связывающей тела массамиm₁ и m₂, если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен .

114. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в = 2,0 раза меньше времени спуска.

115. Автомобиль едет по шоссе со скоростью v = 72 км/ч. Коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой μ = 0,30. За какое минимальное время автомобиль сможет развернуться, не снижая скорости?

116. Велосипедист едет по круговой горизонтальной площадке ра-диуса R. Коэффициент трения где μ₀ – постоянная величина; r – расстояние от велосипедиста до центра O площадки. Найти максимальный радиус окружности r_max с центром в точке О, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость ?

117. На покоившуюся частицу массой m в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = bt (t), где b постоянная величина,время действия силы. Найти:а) импульс частицы после окончания действия силы; б) путь, пройденный частицей за время действия силы.

118. К бруску массой m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу F = mg/3. В процессе его прямолинейного движения угол между направлением этой силы и плоскостью изменяется по закону= ks, где k постоянная величина;s пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла.

119. Частица массой m в момент времени t = 0 начинает двигаться под действием силы F = sin t, где ,постоянные величины. Найти путь, пройденный частицей в зависимости от времениt.

120. В момент времени t = 0 частица массой m начинает двигаться под действием силы F = F₀cosωt, где F₀ и ω – постоянные величины. Сколько времени тело будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время?

121. Найти отношение кинетической энергии спутника планеты к его потенциальной энергии. Спутник движется по круговой орбите.

122. Насколько переместиться относительно воды лодка длиной l = 3,5 м и массой = 200 кг, если человек массой = 80 кг перешел с кормы на нос лодки?

123. Тело массой упруго сталкивается с покоящимся телом, при этом его скорость уменьшилась вn = 2 раза и изменилась по направлению на угол α = . Найти массуm₂ второго тела.

124. Граната, летит горизонтально и разрывается на два осколка. Скорость одного осколка = 30 м/с и направлена под углом к горизонту. Скорость другого осколка= 60 м/с и направлена вертикально вниз. Найти скорость гранаты до разрыва. Во сколько раз масса одного осколка больше другого?

125. Человек массой M стоит на льду и толкает в горизонтальном направлении санки массой m, сообщая им скорость , при этом он откатывается назад. Какую работу совершает при этом человек?

126. Спортсмен массой , стоя на коньках, бросает тело массойпод угломк горизонту со скоростьюv₂ = 5,0 м/с. На какое расстояние откатится спортсмен после броска, если коэффициент трения коньков о лед . Перемещение спортсмена во время броска не учитывать.

127. Какую работу надо совершить, чтобы тело массой m = 10 кг втащить по наклонной плоскости высотой h = 1,5 м и основанием a = 2,5 м. Коэффициент трения .

128. Доска массой M равномерно движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью . Сверху на доску осторожно кладут кирпич массой. Какое расстояние пройдет кирпич по доске за время его проскальзывания до остановки? Коэффициент трения между кирпичем и доской равен.

129. Небольшое тело соскальзывает с высоты h = 8,0 м по наклонной плоскости, плавно переходящей в «мертвую петлю» радиусом R = 4,0 м. На какой высоте, считая от нижней точки петли, тело оторвется от ее поверхности?

130. На тележку массой M, движущуюся по горизонтальной прямой с постоянной скоростью , падает с высотыh кирпич массой m. Кирпич остается на тележке. Найти количество теплоты Q, выделившейся при этом.

131. Свинцовая пуля массой m = 10 г летит горизонтально со скоростью v = 100 м/с и попадает в деревянный брусок массой М = 1,0 кг, подвешенный на длинной нити. Насколько увеличится температура пули, если η = 70 % выделенной теплоты идет на ее нагревание?

132. На сплошной однородный цилиндр радиусом R = 10 см и массой = 9,0 кг плотно намотана нить, к концу которой привязан груз массой = 2,0 кг (рис. 14). Найти угловое ускорение цилиндра.

133. Однородный сплошной цилиндр массой m = 8,0 кг и радиусом R = 1,3 см (рис. 15) в момент времени t = 0 начинает опускаться под действием силы тяжести. Найти угловое ускорение β цилиндра.

134. В установке (рис. 16) известны масса сплошного однородного цилиндра m, его радиус R и массы тел и . Скольжение нити по поверхности цилиндра и трение в его оси не учитывать. Найти угловое ускорение β цилиндра.

135. Сплошной однородный цилиндр массой m вращается под действием сил натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами и (рис. 16). Найти отношение сил натяжениявертикальных участков1 и 2 нити в процессе движения. Убедится, что при m → 0 = .

136. В системе, показанной на рис. 17, известны: массы тел икоэффициент трениямежду телом массойи горизонтальной плоскостью, а также масса блокаm, который можно считать однородным сплошным диском. Скольжение нити по блоку отсутствует. В момент t = 0 тело массой начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти ускорениеa тела массой .

137. По горизонтальной плоскости катится диск (рис. 18) и, предоставленный самому себе, остановился, пройдя расстояние s = 16 м. Начальная скорость диска, v = 8 м/с. Найти коэффициент трения.

138. Однородный цилиндр радиусом R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и поместили в угол (рис. 19), коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен. Сколько оборотовn сделает цилиндр до остановки ?

139.Тонкий однородный стержень длиной l из вертикального положения падает на горизонтальную поверхность. Найти линейные скорости крайней и средней точек стержня в момент времени, когда стержень займет горизонтальное положение.

140. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l = 2 м и высотой h = 10 см?

141. Человек массой стоит на краю горизонтального однородного диска массойи радиусомR. Диск может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол, на который повернется диск к моменту остановки человека.

142. Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти ускорение центра шара и коэффициент трения, при котором скольжения не будет.

143. Математический маятник длиной l = 1,5 м совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см. Найти максимальную скорость грузика маятника.

144. При перемещении математического маятника с Земли на другую планету период его колебаний увеличился в n₁ = 6 раз. Во сколько раз масса Земли больше массы планеты, если радиус Земли в n₂ = 2 раза больше радиуса планеты?

145. Математический маятник, состоящий из шарика массой m = 260 г и нити длиной l = 2,4 м, совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см. Найти скорость шарика при прохождении положения равновесия и максимальное значение силы, под действием которой совершаются колебания.

146. Математический маятник длиной l₀ = 40 см и тонкий однородный стержень длиной l = 60 см совершают синхронно гармонические колебания вокруг горизонтальной оси. Найти расстояние от центра стержня до этой оси.

147. Обруч диаметром D = 56 см висит на гвозде и совершает гармонические колебания под действием силы тяжести. Найти период колебаний обруча, принимая его за физический маятник.

148. На стержне длиной l₀ = 60 см укреплены два одинаковых грузика: один в середине стержня, другой – на конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через его свободный конец. Найти приведенную длину и период гармонических колебаний данного маятника. Массой стержня пренебречь.

149. Частица совершает гармонические колебания с начальной фазой α = 0. При смещении частицы от положения равновесия на х₁ = 4 см ее скорость = 6 см/с, а при смещении на х₂ = 3 см скорость = 8 см/с. Определить циклическую частоту колебаний ω₀.

150. Пружинный маятник вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время (в долях периода) кинетическая энергия колеблющегося тела будет равна потенциальной энергии пружины?. Массу пружины не учитывать.

151. Шарик, подвешенный на пружине, отвели из положения рав-новесия вертикально вниз на расстояние х = 4,0 см и сообщили ему скорость = 1,0 м/с, после чего шарик стал совершать гармонические колебания с частотой ω₀ = 25 рад/с. Найти амплитуду колебаний.

152. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью v относительно инерциальной К ^– системы отсчета. При каком значении скорости длина стрежня в этой системе отсчета будет на η = 0,5 % меньше его собственной длины ?

153. Имеется прямоугольный треугольник с катетом a = 5,0 м и углом между этим катетом и гипотенузой . Найти в системе отсчетаК^ꞌ, движущейся относительно этого треугольника со скоростью = 0,866 с вдоль катета a (с ^– скорость света в вакууме): а) соответствующее значение угла ;б) длину гипотенузы и ее отношение к собственной длине.

154. Найти собственную длину стержня , если вК ^– системе отсчета (лабораторная система) его длина = 1,00 м, угол между стержнем и направлением движения α = 45^о и скорость = с/2, где с ^– скорость света в вакууме.

155. С какой скоростью двигались в К ^– системе отсчета часы, если за время t = 5,0 с (в К ^– системе) они отстали от неподвижных часов этой системы на = 0,10 с?

156. Собственное время жизни нестабильной частицы = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни = 20 нс?

157. В пунктах А и В на Земле, удаленных на расстояние = 10 км, произошли одновременно два события. Найти время, разделяющее эти события, с точки зрения наблюдателя на космическом корабле, удаляющегося от Земли вдоль прямой АВ со скоростью = 0,8 с (с – скорость света в вакууме).

158. Релятивистская частица с массой m и кинетической энергией Е_к налетает на покоящуюся частицу с такой же массой. Найти массу составной частицы, образовавшейся в результате соударения.

159. Релятивистская частица с массой m и кинетической энергией Е_к налетает на покоящуюся частицу с той же массой. Найти скорость составной частицы, образовавшейся в результате соударения.

160. Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой Е_к = 500 МэВ и импульс Р = 865 МэВ/с^, где с – скорость света.

161. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?

162. Найти скорость, при которой релятивисткий импульс частицы в n = 2 раза превышает ее ньютоновский импульс.

163. Сколько энергии (в расчете на единицу массы) надо затра- тить, чтобы сообщить первоначально покоившемуся космическому кораблю скорость = 0,980 с? (с – скорость света в вакууме).

164. Полная энергия мезона в n = 8 раз больше его энергии покоя. Найти скорость мезона.

165. Вычислить импульс протона с кинетической энергией Е_к = 500 МэВ.

166. На экваторе некоторой планеты тело весит в два раза меньше, чем на полюсе. Найти период обращения планеты около собственной оси. Плотность вещества планеты ρ = 3,0^.10³ кг/м³.

167. Телу сообщили на полюсе Земли скорость v₀, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности, найти высоту, на которую поднимется тело.

168. Найти радиус круговой орбиты стационарного спутника Земли, который остается неподвижным относительно ее поверхности. Какова скорость спутника?

169. Найти период обращения спутника, движущегося вокруг некоторой планеты вблизи ее поверхности, если средняя плотность планеты ρ = 3,3 г/см³.