17.7 Усталена фільтрація рідини до свердловини, довільно розміщеної в однорідному горизонтальному пласті, за законом Дарсі

Дослідження припливу рідини до свердловини, яка довільно розміщена в однорідному пласті обмеженої товщини, призводить до постановки дуже складних просторових задач підземної гідрогазомеханіки, оскільки потік, на відміну від розглянутих вище плоских потоків, є тривимірним і необхідно враховувати вертикальну складову потоку. Такі задачі розв’язувалися з використанням різних методів (див. наприклад, вище розв’язок М.Маскета задачі припливу до вертикальної свердловини, яка гідродинамічно недосконала за ступенем розкриття пласта). В.П. Пилатовський запропонував розв’язок на основі способу побудови потенціалу точкового стоку, який діє в пласті обмеженої товщини.

Нехай у круговому горизонтальному однорідному пласті маємо похилу свердловину АСА(рис. 17.14) довжиною 2L,яка утворює кутз горизонтальною площиноюXOY (на рисунку показано вертикальний переріз площиною ZOX). Підошва і покрівля пласта непроникні; товщина пласта рівнаh, а коефіцієнт проникності –k. Положення похилої свердловини визначаємо в декартовій прямокутній системі координатxyz, причому вісьzскеровуємо по вертикалі через центрСсвердловини, а початок координатОрозміщуємо в точці перетину осіzз підошвою пласта. Вертикальну площинуXОZ проводимо через відрізок АСА. Похилу свердловину розглядаємо як лінійний стік (канал у пористому середовищі) з постійною питомою витратою рідини (інтенсивністю витрати) по довжині стокуq = Q / (2L), деQ– загальний об’ємний дебіт свердловини. Лінійний стік АСАзнаходиться всередині деякої множини ізобаричних (еквіпотенціальних) поверхонь – замкнутих оболонок, одна з яких (оболонкаS) імітує поверхню вибою похилої свердловини. Припускаємо, що оболонкаS досить тісно охоплює прямолінійний відрізок АОА. Плоский переріз, проведений через центрС, перпендикулярно до лінії АСА, утворює замкнуту лініюГна поверхніS. Середній радіус замкнутої лініїГберемо за "робочий" радіусr_спохилої свердловини. На вибійній поверхніSзадаємо вибійний тискр_с=const.

Так як ми вибрали, що вісь zпроходить через центрСсвердловини, то природно припустити, що на певній відстані від неї фільтраційний потік із просторового переходить асимптотично в осесиметричний. Візьмемо, що на деякій циліндричній поверхніS_кз віссюzі радіусомR_кзадано середній тискр_к=const, причому R_к> L cos . Цю величину тискур_квважаємо як деякий гідродинамічний еквівалент тиску на контурі живлення пласта. Отже, маємо задачу усталеного припливу нестисливої рідини до похилої свердловини в однорідному круговому пласті.

Розв’язок задачі знаходимо з допомогою потенціалу швидкостей. Для цього використовуємо відому в теорії бесселевих функцій формулу

(17.125)

де K₀(t) – модифікована (видозмінена) функція Бесселя другого роду нульового порядку за аргументуt = ;–параметр.

Під ітут будемо розуміти вирази:

(17.126)

(17.127)

де r,,z– циліндричні координати точки М (r,,z);₁,₀,z₀– циліндричні координати точки М₀(₁,₀,z₀);=–₀;z₀= 2h  а;= 0, 1, …, п; а₀– висота розміщення центруСсвердловини від підошви пласта;а– висота розміщення довільної точки лінійного стоку від підошви пласта.

Тоді ліву частину цієї формули можна тлумачити як значину потенціалу Ф_у довільній точці пласта М (r,,z) від дії точкового стоку (або джерела) з питомою витратою 4, що розміщений у точці М₀(₁,₀,z₀), яка належить лінії АСА.

Потенціал від дії всіх (2п+ 1) стоків (джерел), які діють з однаковими питомими витратами потокуq(витрати пластової рідини), на основі даної формули з використанням принципу суперпозиції записуємо у вигляді:

(17.128)

Додавання під знаком інтеграла по = 0, 1, …,  п приводить вираз до вигляду:

(17.129)

де С_п – адитивна постійна, яка введена для отримання загального виразу потенціалу Ф_п.

За фіксованого п і  > 0 невласний інтеграл у виразі Ф_пта інтеграл, що отримується із Ф_пдиференціюванням поzпід знаком інтеграла, сходяться рівномірно, тому є справедливою залежність

(17.130)

звідки

(17.131)

Перша з цих рівностей (17.131) показує, що горизонтальна площина за z= 0 є непроникною границею області фільтрації (підошва пласта), що зумовлена потенціалом Ф_пза будь-якогоп.

Друга рівність показує, що горизонтальна площина за z = hє непроникною границею області фільтрації (покрівля пласта) лише зап, тобто коли стоки (джерела), які знаходяться в точкаха, під час побудови відповідного потенціалу Ф_пвзято разом з усіма їх дзеркальними відображеннями в площинах підошви і покрівлі пласта.

У виразі Ф_п(17.129) не можна здійснити почленний граничний перехід зап. Це викликано тим, що як інтеграл, так і адитивна постійнаС_прозходяться зап. Тому для конкретного застосування цього виразу запнеобхідно перетворити праву частину виразу, виключивши відповідним чином постійнуС_п. Для цього поступаємо так.

Нехай точки М (s) і М(s + ds) визначають елементарний відрізок ММна лінійному стоку АСА(див. рис. 17.14). Елементарна витрата рідини на відрізку ММдовжиноюds, тобто за умови -L  s  L, виражається так:

(17.132)

Елементарний потенціал dФ_пвід дії елементарного стоку (джерела) ММта його 2пвідображень у підошві і покрівлі пласта на основі рівності (17.129) виражаємо у вигляді:

(17.133)

за -L  s  L.

Додаємо всі елементарні потенціали dФ_п(17.133) від стоків (джерел), розміщених на відрізку АСАі на всіх їх відображеннях (2п); тоді за допомогою виразу (17.133) отримуємо потенціал швидкостей Ф_пвід лінійного стоку АСА

(17.134)

Використовуємо залежність (17.134) для встановлення співвідношення між витратою Qі перепадом тискур=р_к–р_с; для цього припускаємо, що значина потенціалувизначена на вибійній поверхніS похилої свердловини в деякій точці М₀ нормального перерізу поверхніS, проведеного через точку С. Відтак з допомогою залежності (17.134) виражаємо середню значину на циліндричній поверхніS_к з радіусом R_к> L і віссю Оz. Для р_с і р_к знаходимо вирази:

(17.135)

(17.136)

за

Інтеграл у виразі для р_к обчислюємо з допомогою теореми додавання для бесселевої функції K₀ (t)

(17.137)

за умови, що та, деІ₀ (А) – функція Бесселя першого роду нульового порядку;І_т (А),K_т (В)– функція Бесселят-го порядку і модифікована функція Бесселя другого другого родут-го порядку.

На основі (17.134), (17.136) і (17.137) знаходимо , відтак величину тискур_квиражаємо у вигляді:

_(17.138)

Виключаємо адитивну постійну С_п з (17.135) і (17.138), тоді знаходимо:

(17.139)

де

_(17.140)

Знайдемо межу функції f (+ 0), використовуючи для цього розкладання бесселевих функцій K₀ (t) та І₀ (t)

(17.141)

де С= 0,5772… – стала Ейлера.

З виразів (17.140) і (17.141) випливає:

(17.142)

У рівності (17.139) зробимо граничний перехід, застосовуючи при цьому функціональний розклад

(17.143)

де f () – неперервна за  > 0 функція, що задовольняє умовам Діріхле і має на нескінченності достатній порядок малої значини для сходження інтеграла (17.142).

Враховуючи вираз f () (17.140) і беручи до уваги f (+ 0) (17.142), із (17.139) і (17.143) отримуємо шукану формулу для припливу нестисливої рідини до похилої свердловини АСА, що дренує однорідний пласт обмеженої товщини:

_(17.144)

або

(17.145)

де _п– коефіцієнт фільтраційного опору, що враховує геометрію фільтраційного потоку до похилої свердловини,

_(17.146)

Якщо в формулі (17.144) кут нахилу осі свердловини АСАприрівняти рівним нулю (= 0), то отримаємо співвідношення, яким визначаємо припливQрідини до горизонтальної свердловини, яка дренує безмежно однорідний пласт незмінної товщини за умови, що фільтраційний потік на відстані від такої горизонтальної свердловини переходить асимптотично в осесиметричний потік. При цьому припускаємо, що заданий постійний тискр_сна поверхніS, яка імітує вибійну поверхню свердловини, і середній пластовий тискр_кна деякій циліндричній поверхніS_к з радіусомR_кі віссюOz, яка оточує свердловину АСА. Тоді для дебіту горизонтальної свердловини маємо формулу:

_(17.147)

або

(17.148)

де _г– коефіцієнт фільтраційного опору, що враховує геометрію фільтраційного потоку до горизонтальної свердловини,

_(17.149)

Ряд у формулі (17.147) за L > hможна істотно спростити. Для цього використовуємо таке співвідношення:

_(17.150)

де .

Рівність (17.150) подаємо у формі:

(17.151)

Нескінченний ряд у правій частині (17.147) за досить великої значини L (L  ) на основі (17.150), (17.151) записуємо у вигляді:

_(17.152)

Цей вираз перетворюємо до вигляду:

(17.153)

Виконуючи інтегрування, отримуємо:

(17.154)

Оскільки радіус свердловини r_cприпускаємо значно меншим товщини пластаh, можна взяти

(17.155)

Використовуючи співвідношення (17.154) і (17.155), подаємо величину Sу вигляді:

(17.156)

Повертаючись до виразу (17.147), отримуємо досить точну, хоч і наближену, залежність для припливу рідини до горизонтальної свердловини:

(17.157)

або

(17.158)

або

(17.159)

де (17.160)

Нами зіставлено результати розрахунків дебіту горизонтальної свердловини в однорідному пласті за точною (17.147) і наближеною (17.159) формулами. Аналіз засвідчує, що наближена формула (17.159) порівняно з точною формулою (17.147) дає заниження результатів на 10-4 % залежно від зміни L (L = 50 – 200 м), коли R_к = 750 м; h = 20 м; r_c = 0,1 м і а₀ = h / 2, причому зі збільшенням довжини горизонтальної свердловини розбіжність результатів зменшується.

Відмітимо інший частковий випадок формули (17.144), коли і вісь похилої свердловини набуває вертикального положення за умовиі. Вираз (17.144) зводиться до вигляду:

(17.161)

Якщо у цій формулі записати і, то приходимо до випадку припливу рідини до свердловини, перпендикулярної до площини нашарування горизонтального однорідного пласта,

(17.162)

або

(17.163)

тобто приходимо до формули Дюпюї.

Якщо у формулі (17.161) записати а₀=h – L, то отримаємо залежність, з якої визначається витрата рідини до гідродинамічно недосконалої свердловини за ступенем розкриття пласта з глибиною розкриттяв = 2L < hвід покрівлі пласта,

(17.164)

або в перетвореному вигляді

(17.165)

або

(17.166)

де _в– коефіцієнт фільтраційного опору, що враховує геометрію фільтраційного потоку до вертикальної свердловини, гідродинамічно недосконалої за ступенем розкриття пласта,

(17.167)

Формули дебітів вертикальних свердловин містять функціональні ряди, які рівномірно сходяться для умов, що мають фізичний зміст (0 < r_c < h).

Для розрахунку дебіту вертикальної свердловини, гідродинамічно недосконалої за ступенем розкриття пласта, відомо загально прийняту формулу М.Маскета (див. § 7.2). Нами зіставлено результати розрахунків дебіту такої свердловини в однорідному пласті за формулами (17.11) і (17.166). На основі аналізу виснуємо, що формула В.П.Пилатовського (17.166) порівняно із формулою М.Маскета (17.11) дає дещо занижені результати, (розбіжність зростає від 0 до 9 % зі зменшенням відносного розкриття пласта в / h від 1 до 0,05), коли R_к = 750 м; h = 20 м; r_c = 0,1 м.