расчетные методы дозиметрии бета-излучения

Рис. 7.3 Сравнение вычисленных и измеренных дозных распределений от источника с 147Pm. Среды – H2O,Al, Cu, Cd.

Рис. 7.4. Сравнение вычисленных и измеренных дозных распределений от источника с 32P. Среды – H2O,Al, Cu, Cd.

140

Сигнальный экземпляр

7.2.4. Унифицированные (“квазиравновесные”) спектра. Приближенные ФТИ.

Располагаянабором“истинных”дозовыхФТИ (r)(илиW(r))дляразных бета – спектров и разных сред, отличающихся атомными номерами z, можно было попытаться подобрать для каждой “истинной” функции свою простую, легко интегрируемую аппроксимирующую функцию Ψ(r), подобно тому, как это было сделано с функцией Левинджера или “трёхчленной”. Однако, такие попытки оказались безуспешными. Не удалось подобрать достаточно простое выражениеснебольшимколичествомподгоночныхпараметров,котороемогло бы описывать дозные распределения и от разных бета – спектров и в материалах с разными z.

Бета – спектры эмиссии различаются между собой как граничной энергией, так и формой спектрального (энергетического) распределения. Ввиду этого правильновычисленныеиизмеренныеФТИ–дляодногоитогожематериала– такжедолжныотличатьсяиотличаютсямеждусобойдляспектровразнойформы даже при одинаковых граничных энергиях этих спектров. Заметим, кстати, что серьёзным недостатком функций Левинджера, в отличие от “трёхчленной” формулы, является то, что они слабо “чувствуют” форму бета – спектра и зависят практически только от граничной энергии.

Внимательное рассмотрение формы дозовых ФТИ для разных бета – излучателейидляводы(дляводынакопленбольшийматериалпоФТИ)показывает, что эти дозовые распределения отличаются между собой по сложности и что есть ФТИ как бы более “простые” по форе, а есть более “сложные”. Cтепень “простоты “ распределения целесообразно определить как близость этого распределения к наиболее элементарному в данном случае аналитическому выражению – одной экспоненте. Более точно, простой ФТИ мы условимся называть такую функцию W(r), которая в основном, достаточно хорошо описывается выражением вида ≈ νre–νr , где ν– коэффициент поглощения; в случае плоского источника такая ФТИ соответствует, как известно, экспоненциальному распределению вида ≈eνx . Отличия от экспонент у простых ФТИ в виде некоторых “добавок” к функции νre–νr наблюдаются только вблизи источника (при νr ≤ 0,4/0,8), причём площадь под кривыми – “добавками” много меньше площади под основной кривой. Распределения, близкие к простым, получаются для таких бета – эмиттеров, как 32Р, 86Rb, 90Y, 144Pr, 42K и 106Rh. Необходимым критерием простоты ФТИ можно считать величину т.н. “коэффициента формы” доз-

ного распределения /26/ – величину отношения (					)0 /		.	Здесь
(		)0	и – соответственно средние по спектру эмиссии значения тормозной

способности воды и энергии. Если коэффициент формы ≤ 0,4, то ФТИ можно считатьблизкойк“простому”распределению,авпротивномслучае–сложной функцией. Критерий “простоты” можно переписать в форме: ν/( )0 ≥ 3. Значения написанного отношения для ряда исследованных нуклидов даны в таблице 7.1.

141

Таблица 7.1.

Критерий “простоты” ФТН для ряда нуклидов

Нуклид	3H	63Ni	14C	35S	147Pm	45Ca	90Sr	204Tl	32P	86Rb	90Y	144Pr	42K
( )0	1,52	0,85	1,0	0,89	0,89	0,89	1,51	1,11	2,71	2,59	2,66	2,8	2,96

У более сложных ФТИ (для первых 8 нуклидов из таблицы) распределениясущественноотличаютсяотописываемыходнойэкспонентой,иплощадь под кривыми “добавками” сравнима с площадью под основной кривой. Более сложные ФТИ, как оказывается, можно с неплохой точностью представить в виде суперпозиции нескольких более простых функций с разными значениями ν.

Изучениедозныхраспределенийвдругих,кромеводы,средахпоказало,что наименьшей трансформации при переходе от одной среды к другой подвергаются более простые ФТИ, а у более сложных изменение формы в этом случае значительнее. Иллюстрацией к этому может служить рис. 7.2. (более простая ФТИ, 32Р) и рис. 7.1. (более сложная – для 147Pm).

Из сказанного выше вытекала одна важная в практическом отношении возможность. Ввиду трудностей в подборе аппроксимирующего выражения для функции φ(r), пригодного для разнообразных по форме спектров эмиссии и различных сред было, по – видимому, целесообразно попытаться подобрать такую функцию для более простых ФТИ. Каждому спектру эмиссии соответствует своя ФТИ и обратно. Более простым ФТИ должны соответствовать определённые спектры эмиссии, которые можно также назвать более простыми спектрами. Эти более простые спектры (E) должны иметь, очевидно, колоколообразную форму (аналогичную спектрам, например, 32Р и 90Y). Ввиду того, что сложные ФТИ представимы в виде сумы более простых, более сложные спектры эмиссии также должны, по – видимому, допускать разложение на сумму более простых спектральных компонентов. Таким образом, схема задачи, которую предстояло решить, сводилась к следующему: найти форму такого (простого) спектрального распределения, чтобы, с одной стороны, любой спектр эмиссии можно было с хорошей точностью представить в виде суммы конечного, желательно небольшого, числа простых компонентов, с другой стороны, чтобы ФТИ от такого простого спектра была также как можно более простой функцией, приближалась бы к экспоненте и при этом слабо трансформировалась бы при переходе от одной сред к другой. Кроме того, следовало подобрать аппроксимирующую функцию Ψ для этой ФТИ.

При решении задачи можно было, конечно, попытаться применить метод чисто эмпирического подбора формы простого спектра, отправляясь от какого

– либо колокообразного распределения и вычисляя для каждого спектра свою ФТИ (например, суммированием на ЭВМ распределений Спенсера, как это

142

Сигнальный экземпляр

было описано ранее). Однако, мы использовали иной более простой и строгий путь, руководствуясь соображениями изложенными ниже.

Нетрудно показать, что для того, чтобы дозное распределение от плоского бета – источника описывалось точно экспонентой, достаточно, чтобы как энергетическое, так и угловое распределения электронного флюенса не менялись с глубиной, т.е. при удалении от источника /65/. Иными словами, постоянство спектрального и углового распределений достаточно для экспоненциальности дозной кривой. Следует думать, что на практике постояноство этих распределений с глубиной не точно достаточно, но также и необходимо для того, чтобы дозные кривые имели экспоненциальную форму, однако доказательство последнего утверждения нам неизвестно. Кроме того, и сам вопрос несколько абстрактен, ибо ни строгого постоянства формы спектров, ни точно экспоненциальных дозных кривых в действительности не бывает и не может быть. Из сказанного выше мы воспользовались только соображением о том, что существуетнесомненнаясвязь,взаимноесоответствиемеждублизкимкэкспоненте дозным распределением и сравнительно слабым изменением с глубиной фильтрации спектрального распределения электронного флюенса.

Итак, мы будем считать простым спектром эмиссии спектр такой формы, которая слабо меняется (“квазиравновесна”) в процессе распространения, фильтрации бета – излучения.

Проблемой изменения формы спектра при фильтрации бета – излучения занимаются уже более 20 лет. Начиная с работ Браунелла /53/ и Аглинцева и Касаткина /66 – 68/ считается, по – видимому, твёрдо установленным, что форма спектра электронного флюенса в поглотителе (от разных источников бета – излучения) практически не меняется с глубиной. Это положение вошло в учебники /69, 52/ и на нём основан известный метод дозиметрии бета – излучения, предложенный К.К. Аглинцевым. В действительности указанное положение не совсем и не всегда верно нуждается в уточнении. Во – первых, насколько известно из опубликованной литературы, никто ещё корректно не измерял спектры именно электронного флюенса внутри поглотителя. Более того, существуетмнение,чтоподобныеизмерениявообще,впринципе,невозможны/70/. Браунелл измерял в своих опытах спектр не флюенса, а тока, причём лишь для источника 32Р, и измеренные им спектры несколько менялись с глубиной. Физическую величину, измеряемую в экспериментах Аглинцева и Касаткина, из

– за применённой ими геометрии опытов, определить вообще затруднительно. Поэтому изученные ими спектры не могут служить основанием для вывода о том, что средняя по спектру флюенса (или, по их терминологии, по “действующему спектру”) величина меняется с фильтрацией не более, чем на ± 10%. На этом выводе, как известно, и основан метод К.К. Аглинцева.

Как выяснилось впоследствии, в результате исследований, проведённых в лаборатории 31, энергетический спектр флюенса электронного и бета – излучения внутри поглотителя достаточно корректно измерить вполне возможно /31,36/, правда не непосредственно, а методом моделирования. Такие измере-

143

ния приводят к выводу о том, что действующие спектры далеко не во всех случаях, даже приблизительно, сохраняют свою форму с глубиной и что средняя по спектру величина может в действительности варьировать более, чем на +30%. Во – вторых, выяснилось х, выяснилось /36/, что степень устойчивости того или иного спектра при фильтрации зависит от его близости к некоторым особо устойчивым (“квазиравновесным”) спектральным распределениям. Деформация электронного спектра при фильтрации бета – излучения происходит в большей степени за счёт выбывания (поглощения) более низкоэнергетических квазиравновесных компонентов общего спектра и в меньшей мере – за счёт изменения формы спектрального распределения оставшихся компонентов.

Попытаемся оценить форму квазиравновесного спектра, условившись в качестве энергетической переменной пользоваться остаточным пробегом S электронов, поскольку между энергией Е и S – при использовании ПНЗ – существует однозначное соответствие. Предположим, что в однородной среде находится небольших размеров (“точечный”) изотропный источник электронов, обладающий спектром эмиссии , описываемым степенной формулой ≈ ( I – S/S0)n где S0 – граничный остаточный пробег. Спрашивается, каким должен быть показатель n, чтобы приведённая форма спектра в среднем мало менялась в процессе фильтрации, т.е. при удалении от источника? Слова “в среднем” надо понимать в том смысле, что на каждом расстоянии от источника будет своя форма спектра флюенса и мы хотим, чтобы спектр, усреднённый по объёму распространения излучения был, по возможности, близок по форме к спектру эмиссии. Легко показать, что оценка такого усредненного спектра эквивалентна определению формы спектра флюенса внутри однородного бесконечного источника. Действительно, рассмотрим однородную безграничную среду и находящийся в ней источник – объём v с линейными размерами L, равномерно заполненный “активностью”, т.е. эмиттерами электронного излучения.Пустьфункцияm(S)описываетспектрэмитированныхиз1см3 электронов. Размерность m=[m]=см–4 . Обозначим через μ (r, S) энергетический спектр флюенса электронов на расстоянии r от единичного объёма, содержащего упомянутую активность, [μ]= см–6.

ДлядиапазоноврасстоянийrиразмеровLисточника,удовлетворяющихнеравенствуL<<r≤S0 спектрфлюенсазапишетсявформе:vμ(r,S)сразмерностью см–3 . Ясно, что эта величина, рассматриваемая как функция энергетической переменной S должна отличаться для разных расстояний r от точечного источника: при каждом r будет своя форма распределения по S. При вычислении среднего (по объёму) спектра флюенса следует интегрировать по r не саму величину vμ(r, S), а произведение её на весовую функцию f(r)= .Указанная весовая функция, нормированная на 1, учитывает увеличение с расстоянием числа тех точек, для которых спектр флюенса равен vμ(r, S), или, что то же самое, учитывает распределение элементов объёма по r. Таким образом, средняя по объёму форма спектра флюенса от точечного источника запишется в виде:

144

Сигнальный экземпляр

μ(r,S) f

r

μ(r,S) dr

Φ

(S) =v

2

(7.2)

(r) dr= 4π

Выражение для спектра флюенса внутри однородного бесконечного источника, полученное непосредственным интегрированием, имеет, очевидно, вид:

Φ (S) = 4π r2μ(r,S) dr

/

=v/

(7.3)

Функции (S) и

видно, пропорциональны:

(S), какфлюенса

внутри бесконечного источника извест-

В то же время для спектра

Φ

Φ

но простое выражение:

(S)=

Поскольку m(s)≈(1–S/

)n , то

задача сводится к определению такого зна-

чения n, чтобы распределения

(1–S/

)n и

dx≈(1– S/

слабо

отличались друг от друга. Степень близости

двух указанных

функций

можно

характеризовать отношением площадей под соответствующими им графикам, чтоприводитквыражениюдля“индексаравновесности”спектраm(S)вформе:

S0 dx/ S0 dx ≈ (7.4)

Таким образом, индекс равновесности спектра ≈ I– S/S0 (“треугольного”) равен 0,67, спектра (I– S/S0)2 (“квадратичного”) равен 0,75 и т.д. Спектр тем более равновесен, чем больше показатель n. Если потребовать для спектра m(S)= (I– S/S0)n выполнения условия нормировки =k, то lim/m(S)=lim/n→∞[1–S/(n+1)k]n–s/k e – “полностью равновесный” спектр n→∞ – экспонента с бесконечным граничным остаточным пробегом. Это естественно, ибо при любом конечном граничном пробеге обеспечить строгое постоянство формы спектра в процессе фильтрации невозможно.

Используя данные Спенсера /47/, а также метод “единой дозовой функции” (дляH2O),мырассчиталидозныераспределенияводнородныхсредахсразными z от точечных изотропных источников со спектрами эмиссии вида (I– S/S0) и (I– S/S0)2 . Полученные при этом ФТИ оказались простыми и достаточно универсальнымипоформе(дляразныхсред).Ихудалосьаппроксимироватьодной несложнойформулойснебольшимчисломпараметров.Дозныераспределения в каждой из 4–х исследованных сред (H2O,Al, Cu, Cd) от таких спектров в диапазоне 10 мг/cм2 ≤S0≤ 3000 мг/см2 могли быть описаны с ошибкой, (для практически значимых r) не превышающей 10–15% выражением вида:

W(r) ≈ πr2Ψ(r) =W	e–ανr +cνre–νr	(7.5)
0

где W0 = ( )0 – величина средней тормозной способности данной среды для спектра эмиссии, ν – коэффициент поглощения, С– константа, определяемая из условия нормировки по энергии: С= ν – ( – средняя энергия спектра эмис-

сии), α=2.

145

Рис. 7.5 (		)0 =W0(S0) для четырёх сред и квадратичного спектра

Рис. 7. 6 Дозовая ФТИ для нуклида 32P и меди. Сравнение расчёта по Спенсеру (сплошная кривая) и вычисления с использованием формулы (7.5)

–штриховая линия.

146

Сигнальный экземпляр

Распределениядоз,вычисленныедляквадратичныхспектров,оказалисьне-

сколько более общими, менее зависящими от z и S0											чем для “треугольных”, и
мы ограничимся здесь несколькими соотношениями , полученными для спек-
тров вида		( I– S/ )2 :	=0, 65					0,9 (кэВ)
			ν= 10					(H2O)
			ν=
				11,7						(Al)
			ν= 25
					(Cd)
			ν= 17						(Cu)

где [ν]= см2/мг, [S0]= мг/ см2 .

ФункцииW0(S0)длячетырёхсредизображенынарис.7.5.Унификацияформы спектров эмиссии привела к некоторой унификации также и вида ФТИ, причём, все получающиеся ФТИ – простые. Для всех граничных энергий E0 в

диапазоне от 50 до 4000 кэВ (S0 в воде от 5 до 2000 мг/см2) критерий простоты ФТИ, определяемый как = (для воды), составляет 2,6/2,8. С ро-

стом z эта величина растёт.

Форма распределенияW(r) по (8.5) зависит от отношения C/W0 = – . Поскольку и величина ν, и величина W0 зависят от среды, то форма кривых W(r) должна отличаться от разных сред. Таким образом, вывод /48,52/ о подобии ФТИ для бета –спектров эмиссии и для разных z не выполняется здесь даже применительно к “квазиравновесным”спектрам.

Расчёт функций W(r) для реальных бета – спектров сводится к суммированию с определёнными весами функций 4πr2Ψi(r) для тех унифицированных спектров, суперпозиция которых представляет собой исходный спектр эмиссии. За исключением расстояний от источника, меньших 0,01 ÷ 0,02 и больших 0,5 –0,6 от граничного пробега данного спектра, функция W(r) для этого спектра может быть вычислена таким способом с ошибками, не превышающими 10–15% с помощью приведённых выше формул. На меньших расстояниях от источника погрешность увеличивается, главным образом, вследствие использования ограниченного числа (обычно 2–4) унифицированных компонентов разложения исходного спектра. Ошибка на больших расстояниях – следствие использования в аппроксимации (7.5.) экспонент.

В качестве примеров приведём разложения на квадратичные компоненты спектров эмиссии изотопов 32Pи 147Pm:

32P1,47(1900 кэВ) – 0,50 (1000 кэВ)+ 0,03 (330 кэВ)

147Pm 0,58 (215 кэВ)+ 0,24 (114 кэВ)+0,15 (54 кэВ)+ 0,03 (22 кэВ)

Значения энергии Е0, указанные в скобках, соответствуют граничным остаточным пробегам S0 в выражении (I – S/S0)2 для унифицированного спектра (при заданной Е0 значения S0 будут свои для каждой среды) а стоящие перед скобками коэффициенты – веса компонентов. Сумма этих весов должна равняться 1.

147

На рис. 7.6. представлены результаты расчёта дозовой ФТИ для 32Р и меди. Сплошная кривая – результат суммирования распределений Спенсера, пунктирная получена описанным методом.

По поводу разложения какого – либо спектра на парциальные “квазиравновесные”спектры необходимо сделать несколько разъяснений.

Во – первых, такое разложение возможно только в рамках приближения, согласно которому отношение тормозных способностей двух сред (с z из диапазона7,2≤z≤48)– независитотэнергии электронов.Толькоприняв этоприближение, можно гарантировать, что какой –либо квазиравновесный спектр, например, квадратичный, кубичный и т.п. – сохранит свою форму во всех сре-

дах. В противном случае спектр, описываемый формулой				(1 – )2например,
			уже несколько иным
для воды, будет описываться, например, в случае кадмия
выражением, а не	(1 – )2 . Здесь	и	– граничные пробеги в воде и
разложение исходного спектра (в “S – представлении”)
кадмии. Далее, само

на парциальные спектры выполнялось нами приближённо. В частности, ради уменьшения числа членов разложения, при этом мы несколько изменяли граничные энергии наиболее “жёстких” компонентов, делая их отличными от максимальных энергий исходных спектров (так, для 32P и 147Pm максимальные энергии равны соответственно 1710 и 225 кэВ).

Накопленный до сих пор опыт расчёта ФТИ для бета –спектров разной формы говорит о том, что обычно без труда удаётся представить с хорошей точностью в виде суммы 2÷5 унифицированных квадратичных компонентов любойспектрэмиссии.Темнеменееможетвозникнутьвопросотом,всегдали подобное представление, в принципе, возможно. Иными словами, имеется ли гарантия того, что спектр любой формы с любой заданной точностью можно представить в виде суперпозиции конечного числа унифицированных компонентов вида ≈ (I – S/S0)n ? Ответ на этот вопрос сводится к трём положениям. Во – первых, спектр любого вида с достаточной точностью может быть представлен как результат суммирования конечного числа элементарных спектров в форме равнобедренного треугольника представим в виде суммы 4 –х “треугольных” спектров. Эти два положения обсуждены и обоснованы в отчёте /31/, и из них следует, что спектр любой формы можно с заданной точностью представить как суперпозицию конечного числа спектров вида I – S/S0, т.е. “треугольных”. Третье положение (достаточно просто доказываемое) состоит в том,

	что функция вида
	А(I– S/ S	0i	)n всегда может быть представлена в виде суммы:
				,	гдеN=n+2.Такимобразом“треугольный”спектр(n=I)

всегда может быть записан в форме 3–х квадратичных, квадратичный (n=2) – в

форме 5 кубичных и т.д. Очевидно, что перечисленных трёх утверждений достаточно для положительного ответа на поставленный выше вопрос (применительно к любому n).

Примеры разложения спектров эмиссии некоторых нуклидов на спектры вида≈ ( будут даны ниже.

148

Сигнальный экземпляр

Формула (7.5.) при α=2 и при значениях коэффициента поглощения ν, определяемых (7.6.), обеспечивает, как сказано, вполне удовлетворительную аппроксимацию “истинных”ФТИ, для квадратичных спектров эмиссии. Однако, эти значения α и ν не единственные: если варьировать, конечно, в известных пределах,величинуαввыражении(7.5.),подбираяподкаждоезначениеαсвои, оптимальные для аппроксимации “истинных” ФТИ, величины ν, то окажется, что такие аппроксимации в ряде случаев могут быть примерно столь же удовлетворительными, как при α=2 и при значениях ν, определяемых (7.6). Иными словами, условие удовлетворительного приближения к “истинным”распределениям W(r) не является достаточным для однозначного выбора величин α и ν. Ввиду этого существуют связанные между собой диапазоны одинаково допустимых значений α и ν, и приведённые выше параметры – лишь одни из многихвозможных.Вчастности,какоказывается,параметрαможноположить равным I÷I,I для H2O и Al и несколько большим (1,3÷1,5) для Cu и Cd. Если при этом уменьшить примерно на 10% по сравнению с (7.6.) значения ν для всех перечисленных материалов, то подгонка эмпирической формулы (7.5) к вычислены ФТИ будет столь же хорошей, как и при α=2 и при величинах ν, определяемых (7.6).

7.3. “Двухгрупповой” метод расчёта доз от бета – излучения в гетерогенных средах.

7.3.1.Упрощённое описание перехода электронов

вдиффузию “с треков”.

Вотчёте /36/ 1976 г. рассматривалась схема (модель) движения электронов, по – видимому, достаточно простая для того, чтобы с помощью её математического описания можно было надеяться получить не слишком сложные формулы, пригодные для расчётов флюенса и бета – доз, как в гомогенных, так и в гетерогенных средах. Эта схема сводилась к следующему. Каждый электрон непосредственно после эмиссии распростарняется без рассеяния, прямолинейно, причём путь, который он проходит при таком направленном движении, равен в среднем ᴂ–1 , где ᴂ – макроскопическое сечение для процесса перехода движения электрона в полную диффузию. Перейдя в какой

–либо точке прямолинейного трека в состояние полной диффузии, электрон уже не имеет преимущественного направления движения; его дальнейшее распространение описывается обычным уравнением диффузии. Поскольку в рассматриваемой модели движение электрона состоит из двух стадий, – направленного перемещения (первая стадия) и полная диффузия (вторая), –

расчётфлюенсаилидоз,равныхпроизведениюфлюенсанасредниезначении тормозной способности ( )0 и ( )g , в этой модели следовало вести раздельно для двух групп движущихся электронов (направленный компонент) вычислялся решением простейшего кинетического уравнения или, – что при-

149