расчетные методы дозиметрии бета-излучения

Рис. 7.20 (Б) Глубинные дозные распределения в ткани (воде) от тонкого широкого источника 32Р, находящегося на расстоянии 159 мг·см–2 от плоской границы раздела сред. Слева от границы – полубечсконечные среды H2O или Cd, содержащие источник. Справа – полубесконечный водный поглотитель. Линии – расчёт, точки – эксперимент.

180

Сигнальный экземпляр

Заключение к главе 7.

1.Функции точечного источника /ФТИ/ для ряда спектров эмиссии че-

тырёх материалов /H2O, Al, Cu и Cd/, вычисленные с использованием данным Спенсера и “ единых дозовых функций”, проверены и подтверждены экспериментально.

2.Вкачественеобходимойосновыдляколичественногоописаниядозных полей в гомогенных и гетерогенных средах предложен метод разложения произвольного спектра эмиссии на унифицированные “квазиравновесные” парциальные компоненты.

3.Получена эмпирическая формула, аппроксимирующая ФТИ для гомогенных сред в атомным номером в диапазоне 7 ≤ z ≤ 50 и для источников с “квазиравновесными” квадратичными спектрами эмиссии. Оценены входящие

вформулу параметры.

4.Предложена модель, пригодная для схематического описания распространения электронов от источников с“квазиравновесным” спектром эмиссии. На основе этой модели разработан приближённый двухгрупповой метод расчёта дозных полей в гомогенных и гетерогенных средах. Оценены все необходимые параметры. Правильность полученных с помощью этого метода расчётных данных для одномерной плоской геометрии проверена путём измерений с ионизационной камерой.

181

ГЛАВА 8. РАСЧЁТНАЯ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ДОЗНЫХ ПОЛЕЙ ОТ ГЕТЕРОГЕННЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ БЕТА – ТЕРАПИИ *)

8.1. Введение

Как уже указывалось /гл. II-IV/ в лучевой терапии многих онкологических и воспалительных образований используются различные источники и аппликаторы с бета – излучающими нуклидами, причём материалы, из которых они изготовлены, зачастую не являются водно – или тканеэквивалентными. Некоторые источники имеют довольно сложную форму и без разработки соответствующей дозиметрической аппаратуры не могут быть аттестованы по дозе. Иногда применяются источники с очень малыми размерами активной зоны, от которых крайне сложно, либо в настоящее время вообще невозможно, получить глубинные дозные распределения всеми известными экспериментальными методами.

В связи с этим особый интерес представляет предлагаемый нами расчётный метод. Кроме того, сопоставление результатов расчёта и экспериментально полученных доз от аттестованных источников может служить критерием корректности экспериментальных и расчётных методик. В настоящем разделе рассматриваются способы расчёта доз в гетерогенных системах от различных опытных дискретных источников, предназначенных для бета – терапии в офтальмологии, дерматологии и оториноларингологии.

8.2.Источники с плоской геометрией.

8.2.1.Калибровочный источник с 204Tl.

Для проверки корректности предложенного метода расчёта бета –доз было целесообразно провести сопоставление результатов вычислений и экспериментально изученных с помощью ионизационной камеры ЭК –2 глубинных дозных распределений от плоского источника c 204Tl. Изготовленный во ВНИИНМ источник имеет вид плоского металлического диска и обладает техническими характеристиками, указанными в таблице 8.1.

*) Глава 5 из отчёта по теме 77142 [….]

182

Сигнальный экземпляр

Таблица 8.1.

Некоторые технические характеристики плоского калибровочного источника с 204Tl.

	Крышка	Матрица	Основание (подложка)
Материал	сталь	Ni+ цеолит	сталь
Ø, мм	32	25	32
Толщина мг.см–2	28,0	134,5	3450
Масса, мг	225	660	2760
Величина активности	–	10,2	–
матрицы сКи

Суммарная толщина крышки и матрицы приблизительно равна половине максимального пробега бета – частиц спектра 204Tl, а их диаметр >> пробега. Кроме того, из истоника в ткань будут выходить практически лишь частицы самого высокого энергетического парциального квадратного спектра из разложения исходного спектра 204Tl. Ранее /48/ указывалось, что Ni+ цеолит по взаимодействиюсбета–излучениемэквивалентенстали.Исходяизэтого,рас- чёт глубинных распределений в ткани, контактирующей с крышкой источника, следует производить по формуле (8.24), пригодной для полубесконечного источника, погруженного в сталь на расстояние 28 мг.см–2 от границы раздела, причём учитывать можно лишь парциальный спектр I в разложении спектра

204Tl.

Крышка Матрица с ткань

подложка 204Tl

			сталь
сталь	Ni+ цеолит	0	r

Рис. 8.1. Схема к расчёту

В расчёте сталь принималась эквивалентной меди, учитывая близость этих элементов по атомному номеру. Обозначим: сталь – среда “I”, ткань – среда “2”. Пользуясь таблицей 8.3. и табл. 8.4, найдём параметры квадратичного спектра “I” для 204Tl:

PI = 0,82; αI = 1,3; α2 = 1; S02 = 370 мг.см–2 ; ν2 = 0,0243 мг–1см2 ;

183

ν

1

= 0,0254 мг–1см2 ; ν D

1

= 0,2; ν

D

2

= 0,4; Q= 0,5; W = 3 кэВ. мг–1см2

1

2

02

Расчёт производим по формуле (4.24), где Х01 = 28.0254=0,713;

мг

=

αI

Х01

= 1,3·0,713=0,926; из технических данных на источник τ =

сек.мг. Окончательно, доза в ткани запишется в виде:

D=

,

, , – e(0, 713+z )

Здесь Ф– функция Кинга, z2 = ν2 (r2 – r0 ) – приведённое расстояние в ткани от поверхности крышки источника. На рис. 8.2. приведены дозные распределения от плоского эталонного источника с 204Tl, полученные расчётом и с помощью измерений на камере ЭК–2. Как видно, наблюдается хорошее согласие полученных результатов. В целях сокращения объёма подобная схема расчёта дозных полей от других источников будет опускаться.

8.2.2. Калибровочный источник с 90Sr+90Y.

C целью калибровки дозиметрической аппаратуры, предназначенной для паспортизации опытных офтальмологических аппликаторов с 90Sr+90Y, изготовленных на основе цеолита (отчёт № 74142), целесообразно иметь источник, изготовленный по той же технологии, что и офтальмологические, но плоский по форме. Значение мощности дозы, измеренное от такого источника на экстраполяционной ионизационной камере ЭК – 2, имеющей электроды, переносится на сцинтилляционный дозиметр, с помощью которого и определяется мощность дозы офтальмоаппликатора.

Рис. 8.2. Глубинное дозное распределение в ткани от калибровочного плоского источника с 204Tl, изготовленного на основе Ni + цеолит

184

Сигнальный экземпляр

Рис. 8.2. Глубинное дозное распределение в ткани, контактирующей с плоским эталонным источником со 90Sr + 90Y

/основа источника – Ni + цеолит/

Технические данные плоского эталонного источника, изготовленного по аналогичной технологии на основе Ni+ цеолит и предназначенного для калибровки офтальмоаппликаторов, изложены в /48/ (эталон №7). Для расчёта нам понадобятся лишь сведения по величине τ =2,55·108 распад/сек·г, толщине матрицы (122 мг.см–2, Ni+ цеолит) и крышки (117 мг. см–2, сталь). Вычисления проводились для парциальных спектров “1” и “2” в разложении исходного спектра 90Sr+90Y по квадратичным, по формуле (8.25), пригодной для расчёта доз от источника в виде широкого слоя конечной толщины – 122 мг.см–2 , погруженного в полубесконечный блок из стали на расстояние 117 мг.см–2 от границы с тканью. На рис. 8.3. изображены результаты расчёта и эксперимента, выполненного с помощью камеры ЭК–2.

8.2.3.Гибкие аппликаторы с нуклидами 90Sr и 204Tl.

Вглаве III этого отчёта описаны гибкие аппликаторы, изготовленные на основе ткани из кремнеземных пористых волокон (КПВ). Для проведения расчётов дозных полей от этих источников необходимо учесть следующие обстоятельства. Конструкция аппликаторов такова (см. гл III), что ткань из КПВ заключена в тонкий аллюминиевый пакет, с тыльной стороны которого имеется свинцовый экран. Состав ткани из КПВ близок по взаимодействию с бета – излучением кAl. Таким образом, расчёт доз в данном случае нужно производить

185

для гетерогенной системы (Pb –Al – H2O), включающей два полубесконечных пространства (Pb+ H2O) и заключённый между ними блок конечной толщины из Al, внутри которого, распределен источник с бета – излучателем. Наш расчёт справедлив при равномерном распределении активности по толщине ткани из КПВ. Решение уравнения диффузии, вообще говоря, требует знания параметров рассеивающей среды с z=82 (Pb), в то время, как получаемый метод расчёта ограничен диапазоном 7 ≤z≤50. Однако, анализ формул, дающих решение диффузионных уравнений в данной геометрии, свидетельствует о том, что существенной для решений быть величина νDдля свинца. Экстраполируя зависимость νDот z (рис.8.8.) на z=82, найдём νDPb ≈0,11. Описание расчёта доз от данных аппликаторов мы опускаем из –за довольно большого его объёма. Следует лишь отметить, что решения диффузионных уравнений в 3-х средах содержат 6 констант, которые определяют из граничных условий. Функция влияния для нерассеянного компонента потока в силу случайности практически не отличается от этой функции для H2O, поскольку для всех парциальных спектров ᴂAl≈ᴂH2O .

Рис. 8.3. Глубинное дозное распределение в мягкой биологической ткани, контактирующей с дерматологическим аппликатором с 204Tl, изготовленным на основе КПВ.

186

Сигнальный экземпляр

Рис. 8.4. Глубинное дозное распределение в мягкой биологической ткани, контактирующей с дерматологическим аппликатором со 90Sr + 90Y, изготовленным на основе КПВ.

187

8.3.Источники сферической и цилиндрической геометрии.

8.3.1.Офтальмологические аппликаторы.

Рис. 8.5. Схема к расчету флюэнса от сферического источника

Офтальмологическиеаппликаторы,изготовленныепримернопотойжетехнологии,чтоиплоскиекалибровочныеисточникинаосновеNi+цеолит,имеют вид вогнутых металлических дисков с радиусом кривизны R= 14 мм и Ø=12/25 мм. Активированная матрица таких источников, заключённая в стальной корпус, также имеет вид сферического сегмента. Попробуем рассчитать дозное распределение в ткани по оси аппликатора. В этом, наиболее простом случае получаются, как мы увидим в дальнейшем, несложные аналитические формулы: а) расчёт направленного компонента флюенса. Предположим сначала, что источник представляет собой тонкую сферическую поверхность с радиусом кривизны R, помещённую в среде “I” (сталь), также имеющую сферическую границу с радиусом кривизны R0 (cм. рис. 8.6), причём R0/R≤I. Ткань – среда “2”. Требуется найти направленный компонент флюенса в точке а, отстоящей от центра симметрии на расстоянии r. Сконструируем функцию влияния для направленного компонента.

Очевидно, что в точке а от площадки с поверхностной активностью

σ	см	флюенс составит: α		Ф	=			σds	2
				0
Учитывая, что			в сферических				координатах		dS=R dYSinƟdƟ,

188

Сигнальный экземпляр

l2=R2+r2 – 2RrCos Ɵ и 2ldl=2RrSinƟdƟ, получаем dS=R2dY

Вычислим интеграл по сферической поверхности источника:

	Ф0= ) Ф =		2	R2 = σR	–

В отличие от случая плоского источника (форм. 8.23), l1 и l2 изменяются непропорционально и, поскольку, в общем случае ᴂ1 ≠ ᴂ2 , то интеграл можно вычислить только численными методами. Однако, геометрия источника такова, что R – r0 << R. Если точка а определения дозы расположена вблизи границы раздела сред, т.е. r≈R0 то можно показать, что с изменением Ɵ l1 и l2 будут изменяться примерное пропорционально. В то же время следует учесть, что именно для участников ткани, находящихся вблизи источника, вклад от прямолинейного компонента потока будет наибольшим; чем дальше расположена точка детектирования от границы с источником, тем больше вклад диффузионного компонента потока, пока он не станет преобладающим. Таким образом, l1ᴂ1+ l2ᴂ2 ≈ l где ≈ ᴂ1 + ᴂ2 ≈const. Учитывая, что радиус кривизны границы больше максимального пробега бета – частиц, можно положить

–

–

В этом случае:

[ᴂ_1 (R – r_0 )+ᴂ_2 ( – r) ] (8.1)

Втакой записи видно, что плотность потока нерассеянного компонента отличается от своего аналога для случая плоской геометрии и источника в виде тонкой плоскости, погружённого в одну из граничащих сред (см. 4.2.2. Б) лишь на множитель R/r ; б) расчёт диффузного компонента плотности потока. Запишем в каждой из сред уравнение диффузии с поглощением частиц в виде

∆Фд– ν2 Фд=0. Так как картина обладает сферической симметрией, то решениями этого уравнения (в сферической системе координат) будут функции вида:

Всреде I между источником и границей:

/1д = а + b

В среде I снаружи от источника: 1д–=d–

И, наконец, в среде 2: Ф д2 = c

Для нахождения констант a, b, d и С используем 4 граничных условия, подобных тем, с которыми имели дело в случае плоской геометрии:

1) Условие источника, т.е. сумма токов диффузионных электронов, проходящих через единичные элементарнын площадки слева и справа от диффузионного источника должна быть равна его “мощности” Q:

D1d

+ D1b

– D1a

= Q

189