Распределение измеренных размеров валиков с диаметрами в пределах мм

№ инт.	Интервал диаметров, мм	Частота n, шт.	Частость
1 2	20,0 до 20,1 св 20,1 до 20,2	1 3	0,02 0,06
3	св 20,2 до 20,3	7	0,14
4	св 20,3 до 20.4	9	0,18
5	св 20,4 до 20,5	11	0,22
6	св 20,5 до 20,6	8	0,16
7	св 20,6 до 20.7	6	0,12
8	св 20,7 до 20,8	3	0,06
9	св 20,8 до 20,9	2	0,04

В результате построения получается ступенчатая линия 1, называемая гистограммой распределения. Если последовательно соединить между собой точки, соответствующие средине каждого интервала, то образуется ломаная кривая 2, которую называют эмпирической кривом распределения или полигоном распределения. При разных условиях обработки заготовок, формы кривых эмпирического рас­пределения получаются разными. Это свидетельствует о том, что рас­сеивания действительных размеров деталей подчиняются разным матема­тическим законам.

Наиболее часто встречаются распределения размеров, близкие к закону нормального распределения (закону Гаусса). Этому закону подчи­няется распределение деталей, обработанных на предварительно настро­енные станках, когда влияние каждого случайного фактора на сумму ни­чтожно мало и примерно одинаково по своей величине, т.е. среди слага­емых нет доминирующих, а сама погрешность складывается из суммы боль­шого числа взаимно независимых случайных величин.

Кривая Гаусса имеет вид, показанный на рис.65, и описывается уравнением

,

где - среднее квадратическое отклоне­ние аргумента; e - основание натурально­го логарифма ( е =2,71828); - значение абсциссы, при которой ордината, кривой достигает максимума; величина является центром распределения (группирования) аргумента и в то же время его средним арифметическим, которое для действительных размеров (см. табл. 5 ) равно:

Среднее квадратическое отклонение определяют из выражения

.

Для указанных размеров =0,185 мм. В технологии машиностроения величину называют мерой рассеивания разме­ров или мерой точности. Чем меньше значение , тем меньше величина рассеивания размеров деталей в партии и, следовате­льно, выше точность обработки. Чем больше замеров, тем выше точность вычисления . На практике ограничиваются величиной . Анализ формулы Гаусса показывает, что кривая (см.рис.65) симметрична отно­сительно ординаты

соответствующей центру группирования размеров . На расстоянии от кривая имеет две точки перегиба А и Б с ординатами

На расстоянии от ординаты точек В и Г имеют значения . Далее ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Нормальному закону подчиняется, как правило, распре­деление размеров деталей, выполненных с допусками по 9, 10, 11-му и более грубым квалитетам точности. При этом фактическое поле рас­сеивания размеров всех деталей партии (с вероятностью р = 99,73% ) принимается равным и (или ).

Закону равной вероятности следует рассеивание размеров , зависящее преимущественно от переменных систематических погрешностей, например, систематическое увеличение диаметров валов в пределах от до связанное с износом инструмента в период времени Т₁…Т₂ , (рис. 66,а). Обозначим разность .

Р аспределение размеров деталей от до по закону рав­ной вероятности выражается прямоугольником (см. рис. 66,б) с ос­нованием и высотой (ординатой) .

Площадь прямоугольника равна единице, что означает 100%-ную вероятность появления размера детали в интервале .

Среднее арифметическое значение размера

.

Среднее квадратическое

.

Фактическое поле рассеивания размеров в партии деталей

.

По закону равной вероятности распределяются также размеры деталей, обработанных с высокой точностью (6-й, 5-й квалитеты и выше) мето­дом пробных ходов и промеров.

По закону эксцентриситета (закону Релея) происходит распределе­ние таких существенно положительных величин как овальность, биение, разностенность , непараллельность, неперпендикулярность, конус­ность, эксцентриситет и др. Распределение по закону эксцентриситета образуется, например, в тех случаях, когда случайная величина явля­ется радиусом-вектором R , представляющим собой геометрическую сумму двух случайных величин x и z (рис. 67) распределение которых подчиняется закону Гаусса с параметрами: величина

Закон эксцентриситета однопараметри­ческий и уравнение его кривой рас­пределения имеет следующий вид:

где - среднее квадратическое отклонение значений координат x и z.

Из уравнения следует, что начало кривой распределения совпадает с началом координат (R=0 и У=0). Далее следует крутой подъем восходящей ветви, перегиб и более поло­гий спуск нисходящей ветви. Это означает, что деталей с нулевой погрешностью, например, эксцентриситетом, нет: большая часть деталей имеет средний эксцентриситет; деталей с большим эксцентриситетом мало.

Среднее арифметическое переменной, случайной величины (экс­центриситета, биения и др.), её среднее квадратическое отклонение связаны со среднеквадратическим отклонением координат x и z соотношениями:

и .

Фактическое поле рассеивания определяют из выражений

или .

Если на выполняемый размер влияет закономерно изменяющаяся по­грешность, возрастающая сначала замедленно, а затем ускоренно, то распределение размеров происходит по за­кону треугольника (закону Симпсона, рис.68). Распределение по закону треугольника встречается при обработке деталей по 7, 8 и 9-му квалитетам точности при наличии больших погрешностей, связанных с недостаточной жесткостью технологической системы и прогрессирующим износом и затуплением инструмента, особенно в начальный период.

Закон Симпсона графически изображается равнобедренным треуголь­ником (см. рис.68) с полем рассеивания

где - среднее квадратическое отклонение определяют по такой же формуле, как и при законе Гаусса.

На практике могут встретиться и другие законы распределения погрешностей обработки.