2. Построение теней, падающих на плоскости проекций

2.1. Тень точки

Для нахождения тени, падающей от точки, находящейся в первом октанте, необходимо найти точку встречи проходящего через неё луча с плоскостями проекций. Задача нахождения точки встречи прямой общего положения с плоскостями проекций, иначе называемая следом прямой, решалась в пределах курса начертательной геометрии ранее. Рассмотрим случай, когда точка расположена в биссекторной плоскости первого октанта, лежащей между плоскостями П₁ и П₂ (рис. 5, а). Для такой точки характерно равенство координат по осям ординат и аппликат. Луч света S, проходящий через эту точку, принадлежит биссекторной плоскости. Проекции s₁ и s₂ луча света, проходящие через проекции А₁ и А₂ точки А, наклонены к оси абсцисс под углом 45. Найден след А_t луча_, расположенный на оси абсцисс, там где луч одновременно пересекает обе плоскости проекций. Поэтому следы А_2t и А_1t совпадают. Найденный след является искомой тенью точки А.

На рис. 5,б представлена эпюра с решением той же задачи. В дальнейшем выбранное направление луча света будем задавать проекциями луча s₁ и s₂ левее изображения, как показано на эпюре.

а) б)

Рис.5

Рассмотрим случай, когда исследуемая точка смещена в пространстве относительно биссекторной плоскости вверх или вниз. На рис. 6, а ордината и аппликата точки В не равны между собой. Здесь луч света S пересекает плоскости проекций в точках, не совпадающих друг с другом, поэтому будет иметь два следа: соответственно В_1t на плоскости П₁ в первом октанте и В_2t на плоскости П₂ , но уже в четвёртом октанте. В этом случае говорят о тени действительной, находящейся в первом октанте (в нашем случае это В_1t), и тени мнимой – В_2t, находящейся в любом другом октанте кроме первого, или закрытой какой – либо плоскостью. Условимся при обозначении заключать мнимую тень в скобки. Так, например (В_2t) – мнимая, лежащая не в первом октанте, тень точки В на фронтальную плоскость проекций. Тот же случай изображен на эпюре (рис. 6, б).

а)

б)

Рис.6

2.2. Тень прямой линии

Для построения тени линии строят падающие тени от ряда её точек и соединяют их соответствующей линией. Если линия прямая, то для построения её тени на плоскости строят тени двух принадлежащих ей точек и соединяют их прямой линией (рис. 7, а).

а) б)

Рис.7

Однако прямая линия в пространстве может располагаться таким образом, что часть её точек отбросит тень на одну плоскость проекций, а другая – часть на другую плоскость проекций. Рис. 7, б показывает построение тени такой прямой. Здесь С_1t D_2t – тень от прямой СD общего положения. В начале строят действительные и мнимые тени С_1t, (С_1t), D_2t, (D_2t) точек СD. Далее рассуждают следующим образом. Найденные действительные тени С_1t и D_2t концов отрезка СD находятся в первом октанте, но соединены отрезком прямой быть не могут, так как принадлежат разным плоскостям проекций. Условно отбрасывают одну из плоскостей проекций (в нашем случае П₂) и соединяют тени С_1t и (D_2t ), лежащие на оставшейся плоскости проекций П_2. Находят точку К_1t ≡К_2t пересечения найденной тени С_1t (D_2t ) с осью абсцисс. Такая точка К_1t ≡К_2t пересечения тени с осью координат называется точкой перегиба тени. Она является тенью некоторой точки К, принадлежащей отрезку СD, лежащей в биссекторной плоскости первого октанта. Теперь для решения поставленной задачи достаточно полученную точку перегиба К_1t ≡К_2t соединить с ранее найденными действительными тенями С_1t и D_2t концов отрезка СD. Из решения этой задачи можно сделать очень важный для понимания построения теней в ортогональных проекциях вывод. Биссекторная плоскость первого октанта делит прямую в пространстве на две части: та часть, которая лежит между этой плоскостью и плоскостью П₁, отбрасывает тень на плоскость П₁, а другая часть прямой – на плоскость П₂. Точка перегиба тени принадлежит оси абсцисс и может быть найдена лишь с помощью мнимых теней. Следует отметить, что точка перегиба тени характерна не только для прямых общего положения, но и для любых линий, точки которых находятся по разные стороны биссекторной плоскости.