- •Глава I. Свободные колебания.
- •§ 1.1. Гармонический осциллятор.
- •Подведем итоги:
- •§ 1.2. Примеры гармонических осцилляторов.
- •1) Физический маятник
- •§ 1. 3. Сложение колебаний одинакового направления.
- •§11.4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •§ 1.4. Затухающие колебания
- •§11.6. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •Глава II. Волны
- •§ 2.1.Упругие волны
- •§ 2.2. Электромагнитные волны
- •§ 2.3.Энергия волн
- •§ 2.4. Волны и передача информации
- •Глава III. Волновая оптика
- •§ 3.1. Световая волна
- •§ 3.2. Интерференция. Когерентность.
- •§ 3.3.Способы наблюдения интерференции света
- •§ 3.4. Дифракция. Условия ее наблюдения. Принцип Гюйгенса - Френеля
- •§ 3.5. Метод зон Френеля.
- •§ 3.6. Дифракция на щели. Дифракционная решетка как спектральный прибор.
- •§ 3.7. Голография
- •§ 3.8. Поляризация света.
- •§ 3.9. Рис. 3.12 Получение и применение поляризованного света
- •Глава IV. Квантовая оптика
- •§ 4.1. Тепловое излучение
- •§ 4.2. Законы излучения абсолютно черного тела. Квантовая гипотеза
- •§ 4.3. Фотоэффект
- •§ 4.4. Эффект Комптона
- •§ 4.5. Корпускулярно-волновой дуализм излучения. Фотон
- •Глава V. Элементы квантовой механики
- •§ 5.1. Волны де Бройля
- •§ 5.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
- •§ 5.3. Волновая функция. Уравнение Шредингера
- •§ 5.4. Примеры решения уравнения Шредингера
- •§ 5.5. Итоги главы 5
§11.6. Вынужденные колебания. Резонанс.
Для поддержания колебаний необходимо компенсировать потери колебательной энергии с помощью какого-либо внешнего источника. Очевидно, что внешняя сила, поддерживающая колебания, не может быть постоянной или действовать однократно. Она должна быть периодической. В простейшем случае это может быть гармонически изменяющаяся сила:
F=F0 sint. Такую силу называют вынуждающей, а колебания под действием вынуждающей силы - вынужденными. В уравнении движения помимо возвращающей силы и силы трения появится еще вынуждающая сила:
md2x/dt2=-kx-rv+Fo sint. (1.42)
Используя обозначения, введенные в уравнении (1.33), получим:
d2x/dt2+2 dx/dt+02x =(F0/m)sint. (1.43)
Это уравнение отличается от (1.33) только наличием правой части, т.е. является неоднородным. Из математики известно, что его решение есть сумма двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения (это затухающие колебания) и частного решения уравнения (1.43). По прошествии некоторого времени вследствие затухания первое слагаемое обратится в ноль и в установившемся режиме движение описывается только вторым слагаемым - частным решением. Найдем его. Из опыта понятно, что под действием периодической силы система будет колебаться с частотой этой силы. Поэтому решение уравнения (1.43) логично предположить в виде:
x=Asin(t+). (1.44)
A и - постоянные, соответственно амплитуда и начальная фаза, значения которых надо определить. Для этого подставим (1.44) в (1.43) .В результате получим:
A(02-2)sin(t+)+2A cos(t+)=(F0/m)sint (1.45)
Потребуем, чтобы последнее обратилось в тождество. Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм. В левой части (1.45) складываются два гармонических колебания с одинаковыми частотами и отличающимися на /2 начальными фазами. Их можно изобразить взаимно перпендикулярными векторами и сложив, получить вектор, соответствующий правой части (1.45), что представлено на рис. 1.9.
Используя простые математические преобразования, получим:
A=(F/m)/ (1.46)
tg=-2 /(02-2) (1.47)
Из формул (1.46) и (1.47) следует, что амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний не зависят от начальных условий, а определяются только параметрами колебательной системы и возвращающей силы. Это закономерно, так как мы рассматриваем установившийся режим, когда свободные колебания уже “затухли” и система “забыла” свое начальное состояние.
Рассмотрим, как влияет частота вынуждающей силы на величину амплитуды A. Из формулы (1.47) следует, что при =0 (постоянная сила) система сместилась на расстояние x0=A=F0/(m02)=F0/k и вновь уравновесилась. Если , то A0. Это означает, что вследствие инерционности система не успевает реагировать на слишком часто изменяющееся направление внешнего воздействия и остается на месте. При некотором значении частоты вынуждающей силы амплитуда резко возрастает и достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой р. Очевидно, что резонансная частота соответствует минимуму подкоренного выражения в формуле (1.46). Дифференцируя его и приравнивая результат к нулю (т.е. проведя исследование функции на экстремум), получим:
р= . (1.48)
Проанализируем полученную формулу: трение препятствует движению, замедляет его, увеличивая период и уменьшая резонансную частоту по сравнению с частотой собственных колебаний. Если трение мало (0), то резонансная частота практически совпадает с собственной.
Подставим в формулы (1.46) формулу (1.48), найдем резонансную амплитуду:
Ар = (1.49)
В частности, при 0
Ар (1.50)
А если 0, то Ар. Существует правило: солдаты строем по мосту не ходят. Оно делается вполне понятным, если вспомнить про резонанс.
С энергетической точки зрения резонанс представляет собой способность колебательной системы активно поглощать энергию, сообщаемую ему источником колебания. Резонанс – это максимально благоприятный отклик колебательной системы на внешнее воздействие. Анализируя способность студентов усваивать учебный материал, можно сказать, что ближе к концу семестра возникает резонанс: студенты на лету схватывают сообщаемую им преподавателями учебную информацию.