§ 2.3.Энергия волн

Волна переносит энергию от источника колебаний к приемнику, который превращает волновую энергию в другой вид энергии (механическую, электрическую, тепловую и т.п.). Для определенности рассмотрим упругую волну в стержне (рис. 2.1) . При ее распространении точки среды колеблются со скоростью υ_кол=d/dt, создавая в каждой единице объема волнового поля дополнительную кинетическую энергию с объемной плотностью

w_к=1/2υ_кол=1/2(d/dt)² (2.15 a)

Деформации сжатия и растяжения создают дополнительную потенциальную энергию с объемной плотностью

w_n=1/2E²=1/2E(d/dx)² (2.15 б)

Из формул (2.4) и (2.5) следует, что w_к=w_n , так что каждая единица объема волны содержит энергию

w=w_к+w_n=A²²cos²((t-x/v)) (2.16)

Из формулы (2.16) видно, что объемная плотность энергии в каждой точке пространства, например, вблизи приемника, изменяется с частотой 2. Так, звуковая частота, к которой наиболее восприимчиво человеческое ухо, составляет порядка 10³Гц. Обычно приемники вследствие своей инерционности регистрируют не мгновенное, а среднее по времени значение энергии. Среднее значение квадрата косинуса равно 1/2, так что среднее значение объемной плотности энергии в каждой точке пространства составляет

<w>=1/2A²². (2.17)

Выделим небольшой объем волнового поля V (рис.2.4) в виде прямоугольного параллелепипеда. Его боковая грань площадью S_ перпендикулярна скорости распространения волны υ. Содержащаяся в этом объеме энергия W =wV =wS_ υt за время t будет перенесена волной через поверхность S_._.Количество энергии, переносимое волной в единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярную лучу, называется плотностью потока энергии:

J= W/(S_ t)=wυ (2.18а)

Плотность потока энергии является вектором, направленным вдоль луча, он называется вектором Умова:

J = w υ (2.18б)

Электромагнитная волна переносит энергию электрического и магнитного полей, и ее объемная плотность энергии w=w_э+w_м= . В плоской электромагнитной волне электрическое и магнитное поля колеблются синфазно, а их напряженности взаимосвязаны (см. в предыдущем параграфе свойства электромагнитной волны), так что w=. Подставляя этот результат в формулу (2.12) и учитывая, что скорость распространения электромагнитной волны v =, получаем, что плотность потока энергии электромагнитной волны J=EH. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называют вектором Пойнтинга (так исторически сложилось) и обозначают S. Вектор плотности потока энергии направлен по вектору скорости v, который с векторами Е и Н образует правую тройку, так что вектор Пойнтинга равен векторному произведению векторов напряженности электрического и магнитного полей:

S=EH (2.19)