§ 5.3. Волновая функция. Уравнение Шредингера

Корпускулярно волновой дуализм отрицает возможность задать состояние микрочастицы указанием ее координат и импульса, как для классической частицы. М. Борн в 1926 г. использовал то же самое вероятностное толкование связи волновых и корпускулярных свойств микрочастиц, что и для фотонов: вероятностью их появления в данной точке пространства управляет волна. Еще раз обратимся к рис. 5.2 (б): точечные следы электронов на фотопластинке образуют дифракционные кольца – частиц много в области максимума интенсивности волнового поля, и совсем нет там, где его интенсивность равна нулю.

Это волна вероятности, ее описывают волновой функцией, которую обозначают  и называют также пси-функцией. В общем случае волновая функция является комплексной функцией координат и времени и не сопоставима с какой-либо физической величиной, измеряемой в опыте, т.е. не имеет физического смысла. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции  ². Он равен плотности вероятности попадания микрочастицы в малый объем пространства вблизи данной точки:

∆p= ²∆V (5.4)

Здесь ∆p-вероятность, измеряемая отношением числа частиц ∆N, попавших в малый объем ∆V вблизи точки пространства, в которой известна волновая функция , ко всему числу частиц N, участвующих в опыте. Таким образом, ∆N ~  ².

Математическая функция, выражающая вероятность, является конечной, однозначной и непрерывной. Такому же условию конечности, однозначности и непрерывности (КОН) отвечает -функция. Вероятность обнаружить рассматриваемую микрочастица в области пространства, где она существует, равна единице, следовательно,

=1 (5.5)

Формула (5.5) математически обозначает, что -функция нормирована на единицу.

Для определения закона движения конкретного физического объекта необходимо составить и решить уравнение движения. Для классической частицы таковым является второй закон Ньютона, для микрочастицы – уравнение Шредингера. Оба эти уравнения не выводятся из других физических законов, а постулируются. Их действенность проверяется опытом. Закон движения зависит от внешнего воздействия. Мерой внешнего воздействия для классической частицы является сила. Для микрочастицы классическое понятие силы, как и понятие траектории не имеет смысла. Воздействие на микрочастицу характеризуется потенциальной энергией U. Ее математическая формула называется потенциальной функцией и в общем случае является функцией координат и времени. Для простейшего случая одномерного стационарного (не изменяющегося со временем) движения микрочастицы волновая и потенциальная функции зависят только от одной координаты: U=U(х), =(х), и уравнение Шредингера имеет вид:

(5.6)

, ее называют «аш перечеркнутое» или «аш с чертой», она имеет смысл постоянной Планка (Е_ф=hν= ), Е – полная энергия микрочастицы. Зная потенциальную функцию U=U(х), и решив уравнение (5.6), получают закон движения микрочастицы в виде математической формулы  -функции, квадрат модуля которой с определенной вероятностью указывает положение частицы.

Уравнение Шредингера – это основное уравнение квантовой (или волновой) механики.