§ 1. 3. Сложение колебаний одинакового направления.

Тело может одновременно участвовать в нескольких колебаниях: например, пружинный маятник подвешен к потолку вагона, качающегося на рессорах. Пусть x₁ - колебания груза на пружине и x₂ - его колебания вместе с вагоном происходят с амплитудами A₁ и A₂, с одинаковыми частотами ₁=₂= и с начальными фазами ₁ и ₂ соответственно:

x₁ = A₁ cos(t+₁),

x₂ = A₂ cos(t+₂).

Результирующее смещение x = x₁ + x₂ найдем, воспользовавшись методом векторной диаграммы. Изобразим оба колебания в начальный момент времени t=0 векторами А₁ и А₂, наклон енными под углами ₁ и ₂ к оси диаграммы (рис.1.5). Соответствующие им смещения x₁ и x₂ найдем как проекцию этих векторов на ось диаграммы, а результирующее смещение x равно их сумме, следовательно, суммарное колебание в этот момент времени изобразится вектором А – диагональю параллелограмма. Так как векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью , то параллелограмм является жесткой вращающейся фигурой, и результирующее движение является гармоническим колебанием с той же частотой, амплитудой A и начальной фазой , обозначенной на рисунке:

x = A sin(t+).

Амплитуду A и начальную фазу  найдем из рассмотрения соответствующих треугольников:

A²=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(₂-₁) (1.28)

tg =(A₁sin₁+A₂sin₂)/(A₁cos₁+A₂cos₂) (1.29)

Проанализируем полученные формулы (1.28) и (1.29) на простых примерах:

Пример 1. Пусть колебания происходят синфазно: ₁ =₂, Нарисуйте на общей системе координат два графика законов движения x₁ и x₂ и сложите их. Понятно, что колебания усиливают друг друга, и их амплитуды складываются: А=A₁+A₂. Такой же результат дает формула (1.28): A²=A₁²+A₂²+2A₁A₂=(A₁+A₂)² , так как cos(₂ -₁)=1.

Пример 2. Колебания происходят в противофазе: ₂ - ₁ = . В этом случае колебания направлены навстречу друг другу и поэтому ослабляют друг друга, так что амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний: A = A₁ - A₂. Убедитесь в этом самостоятельно, изобразив оба закона движения графически и сложив их. Такой же результат Вы без труда получите из формулы (1.28) учитывая, что cos = -1.

Если складываются не два, а более колебаний одинаковой частоты, то при сложении векторов удобнее пользоваться не методом параллелограмма, а методом треугольника.

А теперь посмотрим, что произойдет, если два складываемых колебания отличаются по частоте на малую величину . В этом случае пользоваться векторной диаграммой нецелесообразно, так как векторы A₁ и A₂ вращаются с разными скоростями и параллелограмм деформируется. Для простоты будем считать, что амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний соответственно одинаковы: Это означает, что за начало отсчета времени мы выбрали такой момент, когда оба колебания отклонили тело в одну и ту же сторону до максимального смещения.

x₁ = A cos t

x₂ = A cos( +)t

Используя известные тригонометрические формулы и пренебрегая  по сравнению с  , получим:

x = 2A cos( t/2)cos t (1.30)

И з формулы (1.30) следует, что система колеблется относительно положения равновесия с частотой , при этом размах колебаний (“амплитуда”)² периодически меняется с частотой  от 0 до 2A (рис. 11.6). Такой процесс называется биениями. Период биений Т_б=2/( ) тем больше, чем меньше разность частот складываемых колебаний. При настройке музыкальных инструментов используют камертон. Даже при небольшом несовпадении частот звучания инструмента и камертона возникают биения, и ухо слышит, что громкость звука периодически меняется.

Изменение во времени какой-либо характеристики колебаний по заданному закону называется модуляцией. В данном случае сигнал модулирован по амплитуде, бывает также модуляция частотная и фазовая. Передача звука с помощью радиоволн использует метод модуляции.