Занятие 1 Основные элементарные функции
Цели
Знать:
-
Определение функции, её области определения и области значений;
-
способы задания функций;
-
основные характеристики функции;
-
понятие обратной функции;
-
понятие сложной функции.
Уметь:
-
Строить графики основных элементарных функций.
▼ Пусть даны два
непустых множества X
и Y. Соответствие f,
которое каждому элементу
сопоставляет один и только один элемент
,
называется функцией и записывается
y=f(x)
или
(1). ▲
Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D ( f ).
Множество
всех
называется
множеством значений функции f
и обозначается E ( f ).
Основные характеристики функции
1. Функция у=f (x), определённая на множестве D, называется
-
чётной, если
выполняются условия
и f ( –x)=f (x) (2); -
нечётной, если
выполняются условия
и f ( –x)= –f (x) (3).
Фцнкция у=f (x), определённая на множестве D, не являющаяся ни четной, ни нечётной называется функцией общего вида.
Пример. Чётные функции: f (x)=x2n, y=cos x. Нечётные функции: f (x)=x2n – 1, y=sin x.
2. Пусть функция
у=f (x),
определёна на множестве D
и пусть
.
Если для любых значений
аргументов из неравенства x1<x2
вытекает неравенство:
-
f (x1)<f (x2), то функция называется возрастающей на множестве D1 (4);
-
,
то функция называется неубывающей
на множестве D1 (5); -
f (x1)>f (x2), то функция называется убывающей на множестве D1 (6);
-
,
то функция называется невозрастающей
на множестве D1 (7).
3. Функцию у=f(x),
определённую на множестве D,
называют ограниченной на этом
множестве, если существует такое число
M>0, что для всех
выполняется неравенство:
(8).
4. Функция у=f (x),
определённая на множестве D,
называется периодической на этом
множестве, если существует такое число
T>0, что при каждом
значение
и
f (x+T)=f (x) (9).
Пример. Функции
у=sin x,
у=cos x
имеют период
,
у=tg x,
у=ctg x
имеют период
.
Функция
φ (у)
называется обратной к функции f (x),
если для всякого
выполняется φ (f (x))=x
и для всякого
выполняется f(φ(y))
и записывается в следующем виде:
x=φ (y)=f- – 1(y) (10).
Основные элементарные функции
1) степенная функция
(
);
2) показательная функция
у=ах
(а>0, a
1);
3) логарифмическая функция
y=logax
(a>0, a
1);
4) тригонометрические функции
y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x;
5) обратные тригонометрические функции
y=arcsin x, y=arcos x, y=arctg x, y=arcctg x.
▼ Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. ▲
▼ Пусть функция y=f (u)
определена на множестве D,
а функция u=φ (х)
на множестве D1,
причём
соответствующее значение u=φ (х)
.
Тогда на множестве D1
определена функция u=f (φ (х))
которая называется сложной функцией
от х (или суперпозицией заданных
функций, или функцией от функции).
Переменную u=φ (х)
называют промежуточным аргументом
сложной функции. ▲
Пример. y=sin(lg x); y=tg(3x+1).
№1. Дана
функция
Найти f( –2); f(0).
►
;
.
◄
№2. Найти область определения функции:
а)
;
б) y=
+arcсos
.
► а) Функция принимает действительные значения в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком корня, будет иметь неотрицательные значения, а выражение, находящееся под знаком логарифма — положительным:
Решая первое неравенство
,
имеем
или х2 – 5х+4
,
т.е.
.
Решая второе неравенство
,
имеем 5x – x2>0,
т.е.
.
Решение системы:
.
б) Функция
определена в тех точках, в которых
3 – х
0
или
.
Функция arcсos
определена для всех значений х,
удовлетворяющих неравенству:
или
откуда
или
.
Таким образом, данная функция определена на отрезке
[ –1; 3]. ◄
№3.
Выяснить, какие из данных функций,
являются чётными и какие нечётными: а)
;
б) g (x)=x+cos x;
в) q (x)= x+sin x.
► Заменяя х на (–х), получаем:
а)
=
=
,
отсюда следует, что f ( –x)=f (x), т.е. функция чётная;
б) g ( –x)= –x+cos( –x)= –x+cos x,
отсюда
g ( –x)
g (x);
g ( –x)
–g (x),
т.е. функция не является чётной и нечётной
(общего вида);
в) q ( –x)= –x+sin x= –x – sinx, отсюда q ( –x)= – q (x), т.е. функция чётная. ◄