- •Занятие 1 Основные элементарные функции
- •Задания для самостоятельного решения
- •Занятие 2 Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности
- •Действия над последовательностями
- •Операции над пределами последовательностей
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Занятие 3
- •Предел функции.
- •Раскрытие неопределённостей вида ,
- •Чтобы раскрыть неопределённость, в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания Найти пределы:
- •Дополнительные задания
- •Занятие 4 Замечательные пределы
- •Следствия
- •Аудиторное занятие
- •Домашние задания
- •Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания «Вычисление пределов»
- •Занятие 5 Вычисление пределов при использовании эквивалентностей
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Дополнительные задания
- •Занятие 6 Обзорное занятие
- •Занятие 7 Непрерывность функции
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Контрольные вопросы Последовательности и непрерывные функции
- •Функция, её простейшие свойства
- •Вариант 1
- •Литература
- •Содержание
- •Занятие 4
- •Решение идз
- •Занятие 7
Аудиторные задания
Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке :
№212. f (x)=x3.
№213. f (x)=4x2 – 5x+2.
№.214. Доказать, что функция
не является непрерывной в точке х0=1, но непрерывна слева в этой точке. Построить график функции.
№.215. Доказать, что функция
не является непрерывной в точке х0= –2, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции.
Исследовать на непрерывность и построить график функции. Найти скачок функции в точках разрыва:
№.216.
Ответ: 1) функция терпит разрыв 1-го рода в точке х= –2; скачок функции равен –2; и имеет устранимый разрыв в точке х =2. В остальных точках функция непрерывна.
№.217.
Ответ: Функция имеет устранимый разрыв в точке х =1 и терпит разрыв 1-го рода в точке х =2; скачок функции равен 4. В остальных точках функция непрерывна.
Установить характер разрыва функции в точке х0:
№218. , х0= – 4.
Ответ: х0= – 4 — точка устранимого разрыва.
№219. , х0=0.
Ответ: х0 = 0 — точка устранимого разрыва.
Домашние задания
Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке :
№220. .
№221. .
№222. .
№223. .
№224. .
Пользуясь определением непрерывности функции, доказать:
№225. Функция непрерывна в точке х = –2.
№226. Функция непрерывна в точке х = 4.
№227. Функция f (x) =cos x непрерывна в точке х = 0.
Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:
№228. .
№229.
№230.
№231.
№232.
№233.
Контрольные вопросы Последовательности и непрерывные функции
-
Доказать, что у одной последовательности не может быть двух разных пределов.
Указание. Доказательство методом от противного удобно провести, используя геометрическое определение предела.
-
Показать, что частное двух бесконечно малых последовательностей может не быть бесконечно малой последовательностью.
Указание. Например, если , .
-
Привести пример такой бесконечно малой последовательности {xn}, что:
-
первые её сто членов больше 1000;
-
существует бесконечно много как положительных, так и отрицательных её членов.
-
-
Доказать, что следующие последовательности {xn} не имеют предела: 1) ; 2.) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) xn=1+2+…+n.
-
Привести пример последовательности {xn}, которая расходится, но для которой последовательность {|xn|} сходится.
-
Показать, что:
-
каждая бесконечно большая последовательность является неограниченной;
-
не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой.
Указание. Например, последовательность {1, 0, 2, 3, 0, 4, …}
-
Пусть {xn} — бесконечно малая, {yn} и {zn} — бесконечно большие последовательности. Верно ли, что всегда:
1) — бесконечно большая последовательность;
2.) — бесконечно малая последовательность;
3) — сходящаяся последовательность;
4) — бесконечно большая последовательность;
5) — расходящаяся последовательность.
-
Привести пример таких сходящихся последовательностей {xn} и {уn}, что:
1) для , однако ;
2) для , однако .
-
Верно ли, что: если функция f (x) имеет предел в точке х0, а функция g (x) не имеет предела в этой точке, то функция f (x)+g (x) имеет предел в точке х0;
-
Доказать, что не существует.
Указание. Предположить противное, далее учесть, что можно найти такие точки х1 и х2, что x1>M и x2>M, |f (x1) – f (x2)|=2.
-
Доказать, что:
1) сумма (разность) бесконечно малых при функций также бесконечно малая при функция;
2) произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию (в частности, произведение двух бесконечно малых) есть бесконечно малая функция.
-
Показать на примерах, что:
1) частное двух бесконечно малых при функций может не быть бесконечно малой функцией;
2) если — бесконечно малая при , а — бесконечно малая при , то сумма может нигде не быть бесконечно малой функцией;
3) сумма бесконечно больших функций при может быть даже бесконечно малой при .
-
Привести пример функции, бесконечно малой при , и , но не являющейся бесконечно малой в окрестностях других точек.
-
Привести пример функции, непрерывной и неограниченной на данном интервале.
-
Привести пример функции, заданной на отрезке [a;b] и неограниченной на нём.
-
Привести пример непрерывной на некотором множестве функции, которая принимает значения 0 и 2, но не принимает значения 1.
-
Привести пример функции, непрерывной на каждом из промежутков [0; 1) и [1; 2], но не являющейся непрерывной на их объединении, т.е. на [0; 2].
-
Привести пример функции f (x), непрерывной на интервале (a; b), множество значений которой:
1) интервал;
2) отрезок;
3) полуинтервал.
-
Привести пример функции, которая достигает на данном отрезке наибольшего и наименьшего значений и принимает все промежуточные значения между ними, но не является непрерывной на этом отрезке.