- •Занятие 1 Основные элементарные функции
- •Задания для самостоятельного решения
- •Занятие 2 Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности
- •Действия над последовательностями
- •Операции над пределами последовательностей
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Занятие 3
- •Предел функции.
- •Раскрытие неопределённостей вида ,
- •Чтобы раскрыть неопределённость, в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания Найти пределы:
- •Дополнительные задания
- •Занятие 4 Замечательные пределы
- •Следствия
- •Аудиторное занятие
- •Домашние задания
- •Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания «Вычисление пределов»
- •Занятие 5 Вычисление пределов при использовании эквивалентностей
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Дополнительные задания
- •Занятие 6 Обзорное занятие
- •Занятие 7 Непрерывность функции
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Контрольные вопросы Последовательности и непрерывные функции
- •Функция, её простейшие свойства
- •Вариант 1
- •Литература
- •Содержание
- •Занятие 4
- •Решение идз
- •Занятие 7
Операции над пределами последовательностей
1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:
, (17).
2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:
, (18).
В частности:
-
постоянный множитель можно выносить за знак предела:
, (19);
-
предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от её предела:
, k=1, 2, 3, … (20);
-
предел корня k-й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:
, k=2, 3, 4, … (21).
№4. Написать первые четыре члена последовательности {xn}, если: 1) ; 2) х1=1, xn=xn – 1+2.
► 1) Подставляя последовательно n=1, 2, 3, 4, … в формулу для общего члена последовательности, найдем: х1= –1; ; ; ;
2) В соответствии с формулой xn=xn – 1+2 получим: х2=х1+2=3, х3=х2+2=5, х4=х3+2=7. ◄
№5. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху? снизу? ограничены?
1) 2; 4; 6; 8; …
2) –1; –4; –9; –16; …
3) –2; 4; –8; 16; ….
► 1) Данная последовательность, состоящая из всех чётных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху;
2) xn= – n2<0 (n=1, 2, 3, …), последовательность ограничена сверху, но не ограничена снизу;
3) xn=( –2)n не ограничена, так как для любого числа M>0 можно найти такой номер n, что |xn|=2 n>M. ◄
№6. Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные: 1) xn=2n+1; 2) –1; –1; –2; –2; –3; –3; …
► 1) данная последовательность строго возрастает, т.к. xn+1=2(n+1)+1=2n+3>2n+1=xn для всех натуральных чисел n;
2) данная последовательность невозрастающая, так как , n=1, 2, … и некоторые (например, первый и второй) члены этой последовательности равны между собой. ◄
№7. Доказать, что есть бесконечно малая.
► Запишем последовательность значений:
–1, –, –, –, …, , …
отсюда видно, что с возрастанием n значения переменной xn приближаются к нулю так, что с некоторого номера N абсолютные значения переменной будут меньше любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа . Докажем это. Пусть дано >0, тогда или <, отсюда n>, следовательно, можно принять номер N>, при значении которого для любых номеров nN будет выполняться неравенство . Пусть, например, ε=0,01, тогда для всех nN, где .
Если ε=, то , т.е. можно принять номер N=3. Следовательно, значения переменной по абсолютной величине для всех номеров . Это и означает, что переменная xn есть бесконечно малая величина. ◄
Постановка задачи. Пользуясь определением последовательности, доказать, что .
План решения. 1. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для , . Это означает, что неравенство имеет решение для .
2. Найти, при каких n справедливо неравенство , т.е. решить это неравенство относительно n.
3. Если решение имеет вид , то а — предел числовой последовательности {xn}.
⋙Если решение неравенства нельзя представить в виде , то число а не является пределом последовательности {xn}.
№8. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что.
► 1. По определению число а =2 называется пределом числовой последовательности , если .
2. Найдём, при каких n справедливо неравенство , т.е. решим это неравенство относительно n.
3. Неравенство имеет решение . Следовательно, 2 — предел числовой последовательности . ◄