Занятие 4 Замечательные пределы

Цели

Знать:

• Замечательные пределы и их следствия.

Уметь:

• Вычислять пределы, используя замечательные пределы.

Первый замечательный предел

(29).

Следствия

,

, ,

, ,

, .

Второй замечательный предел

, , (30)

где е — число Эйлера.

Следствия

;

, ; ;

; , (а=const).

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти данный предел следует вычислить и ;

1) если существуют конечные пределы ; , то ;

2) если и , то С находится с помощью формул:

3) если и , то положив , где при , получим:

=.

№14. Найти пределы:1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5);

6) ; 7) .

► 1) . Воспользуемся первым замечательным пределом:

;

2) . Вычислим пределы двух функций:

,

т.к. пределы существуют и они конечны, то =3²;

3) . Вычислим пределы двух функций:

,

тогда для нахождения исходного предельного выражения воспользуемся формулой:

т.е. имеем , следовательно =0;

4) . Вычислим пределы двух функций:

т.е. имеем неопределенность . Для раскрытия данной неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом, т.е.:

==;

5) . Введем замену:

Тогда, =

==;

6) . Введем замену:

Тогда, ===

=;

7) . Найдя пределы двух функций, имеем неопреденность: .

Тогда, ===

==. ◄

Аудиторное занятие

Найти пределы:

№123. . Ответ: .

№124. . Ответ: .

№125. . Ответ: 0.

№126. . Ответ: .

№127. . Ответ: .

№128. . Ответ: .

№129. . Ответ: 12.

№130. . Ответ: .

№131. . Ответ: .

№132. . Ответ: 1.

№133. . Ответ: 1.

№134. . Ответ: .

№135. . Ответ: .

Домашние задания

Найти пределы:

№136. . Ответ: .

№137. . Ответ: .

№138. . Ответ: .

№139. . Ответ: .

№140. . Ответ: .

№141. . Ответ: .

№142. . Ответ: .

№143. . Ответ: –1.

№144. . Ответ:.

№145. . Ответ: .

№146. . Ответ: е.

№147. . Ответ: .

№148. . Ответ: е.

Дополнительные задания

Найти пределы:

№149. . Ответ: 4.

№150. . Ответ: 1.

№151. . Ответ: .

№152. . Ответ: .

№153. . Ответ: .

№154. . Ответ: е.

№155. . Ответ: .

№156. . Ответ: .

№157. . Ответ: .

№158. . Ответ: .

№159. . Ответ: .

№160. . Ответ: 1.