- •Занятие 1 Основные элементарные функции
- •Задания для самостоятельного решения
- •Занятие 2 Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности
- •Действия над последовательностями
- •Операции над пределами последовательностей
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Занятие 3
- •Предел функции.
- •Раскрытие неопределённостей вида ,
- •Чтобы раскрыть неопределённость, в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания Найти пределы:
- •Дополнительные задания
- •Занятие 4 Замечательные пределы
- •Следствия
- •Аудиторное занятие
- •Домашние задания
- •Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания «Вычисление пределов»
- •Занятие 5 Вычисление пределов при использовании эквивалентностей
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Дополнительные задания
- •Занятие 6 Обзорное занятие
- •Занятие 7 Непрерывность функции
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Контрольные вопросы Последовательности и непрерывные функции
- •Функция, её простейшие свойства
- •Вариант 1
- •Литература
- •Содержание
- •Занятие 4
- •Решение идз
- •Занятие 7
Аудиторные задания
№9. Написать первые пять членов последовательности {xn}, если .
№10. Зная несколько первых членов последовательности {xn}, написать формулу её общего члена: 1, , , , … Определить какие из последовательностей {xn} ограничены:
№11. . Ответ: неограниченная.
№12. xn= –ln n; Ответ: ограничена сверху.
Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные:
№13. . Ответ: убывающая.
№14. . Ответ: неубывающая.
№15. Используя определение, доказать, что последовательность бесконечно малая .
№16. Используя определение предела, доказать, что последовательность сходится к числу 1.
Написать первые пять членов последовательности {xn}, если:
№17. xn=.
№18. xn=.
Зная несколько первых членов последовательности {xn}, написать формулу её общего члена:
№19.
№20.
№21. –1, 2, –3, 4, –5, …
Какие из последовательностей {xn} ограничены:
№22. xn=n3+2n. Ответ: ограничена снизу.
№23. . Ответ: ограниченная.
Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные:
№24. .
Ответ: строго возрастающая, ограниченная.
№25. .
Ответ: строго убывающая, ограниченная сверху.
№26. Пусть {xn}={n}, — две последовательности.
Найти последовательности {xn+yn}, {xn – yn}, , .
№27. Доказать, что данная последовательность бесконечно малая: xn=.
№28. Доказать, что данная последовательность бесконечно большая: xn=n2.
№29. Пользуясь определением последовательности доказать, что .
Домашние задания
Найти первые четыре члена последовательности {xn}, если:
№30. .
№31. xn=1.
№32. .
№33. x1=2, xn=|xn – 1 – 2|.
№34. xn=n!, где .
Зная несколько первых членов последовательности {xn}, написать формулу его общего члена:
№35. 2, 5, 10, 17, 26, …
№36. –1, 1, –1, 1, –1, …
№37.
№38.
Какие из последовательностей {xn} ограничены, если:
№39. xn=sin x. Ответ: ограниченная.
№40. . Ответ: ограниченная сверху.
№41. . Ответ: ограниченная снизу.
№42. . Ответ: неограниченная.
Найти последовательности и , если:
№43. xn=n, yn=1;
№44. xn=n2, yn=n.
Доказать, что данная последовательность бесконечно малая:
№45. xn=.
№46. xn=.
Доказать, что данная последовательность бесконечно большая:
№47. xn=.
№48. xn=2n.
Пользуясь определением последовательности доказать:
№49. .
№50. .
Занятие 3
Предел функции.
Раскрытие неопределённостей вида ,
Цели
Знать:
-
Определение предела;
-
признаки существования пределов;
-
основные теоремы о пределах.
Уметь:
-
Применять основные теоремы о пределах;
-
применять признаки существования пределов при вычислении предела функции;
-
вычислять пределы, раскрывая неопределённости вида, .
Определение («на языке последовательностей», или по Гейне)
Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0 (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, , сходящейся к х0 (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(xn), сходится к числу А (т.е. ).
Определение (на «языке ε-δ», или по Коши»)
Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0 (или при , т.е. ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
(22).
Следствие. Функция может иметь только один предел при .
Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
(23).
Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
(24).
Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
(25).
Следствие. (26).
Теорема. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
, () (27).
При нахождении пределов применяют соотношения:
, (k=const); ;
; ;
;
;
(28).
Постановка задачи. Найти .
План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х0), при этом:
-
если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению;
-
если в результате вычислений нет неопределённостей, воспользуемся одним из соотношений (28).
№9. Найти пределы: 1) ; 2) ;
3) .
► 1) Применяя теоремы о пределах, получаем:
==
=;
2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: =;
3) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при ). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины , отличной от нуля, на бесконечно большую величину при как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому . ◄
Постановка задачи. Найти , где или .
План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х0), если в результате вычислений получилась неопределённость или , следует применить соответствующие правила для раскрытия данных неопределённостей.
Неопределённость вида