- •Занятие 1 Основные элементарные функции
- •Задания для самостоятельного решения
- •Занятие 2 Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности
- •Действия над последовательностями
- •Операции над пределами последовательностей
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Занятие 3
- •Предел функции.
- •Раскрытие неопределённостей вида ,
- •Чтобы раскрыть неопределённость, в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания Найти пределы:
- •Дополнительные задания
- •Занятие 4 Замечательные пределы
- •Следствия
- •Аудиторное занятие
- •Домашние задания
- •Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания «Вычисление пределов»
- •Занятие 5 Вычисление пределов при использовании эквивалентностей
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Дополнительные задания
- •Занятие 6 Обзорное занятие
- •Занятие 7 Непрерывность функции
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Контрольные вопросы Последовательности и непрерывные функции
- •Функция, её простейшие свойства
- •Вариант 1
- •Литература
- •Содержание
- •Занятие 4
- •Решение идз
- •Занятие 7
Задания для самостоятельного решения
№1. Дана функция f (t)=2t3 – 3t+4. Найти f ( –2); f (0); f (1); f (a).
Ответ: f ( –2)= –6; f (0)= 4; f (1)=3; f (a)=2a3 – 3a+4.
№2. Дана функция, . Найти ; . В каких точках функция не определена?
Ответ: ; .
Функция не определена в точках .
№3. Дана функция f (x)=sin x. Найти:1) f 2(x)+;
2) ; 3) ; 4) f (1); 5) f ( –2).
Ответ: 1) 1; 2) tg x; 3) sin 2x; 4) sin 1; 5) sin( –2).
№4. Найти области определения функции: 1) y=lg(4 – 3x – x2); 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) y=arcсos; 7) y=+lg(sin x); 8) y=log2(x2 – 7x+12)+; 9) ; 10) ; 11) ; 12) y=lg(sin x+2).
Ответ: 1) D(y)=( –4; 1); 2) D(y)=R\{ –2; 7};
3) D(y)=[ –1; 2]; 4) D(y)=R\{4};
5) D(y)=; 6) D(y)=; 7) D(y)=[ –5; –)(0; );
8) D(y)=[1; 3)(4; ); 9) D(y)=, ;
10) D(y)=, ;
11) D(y)=, , 12) D(y)=R.
№5. Найти множество значений функции: 1) , ; 2) , –1<x<0; 3) y=lg x, 10;
4) y=3+2x – x2, –15; 5) y=cos x, .
Ответ: 1) ; 2) ( –; –1);
3) [1; 2]; 4) [ –12; 0]; 5) .
№6. Какие из указанных функций чётные, какие нечётные и какие из них не обладают этими свойствами: 1) у =5х; 2) y =x2 3x; 3) y =x – x3; 4) y =x2+3x+2; 5) у =x3+2x+1; 6) y =sin2x; 7) ; 8) y=; 9) у =x4+x2 – 5; 10) f (x) =const.
Ответ: Функции 6, 9, 10 — чётные;
функции 3, 8 — нечётные;
функции 1, 2, 4, 5, 7 — общего вида.
№7. Записать сложную функцию у =у (u (v (x))), где:
1) y =sin u; u =lg v; v =; 2) y =arctg u; u =; v =lg x.
Ответ: 1) y =sin(lg); 2) y =arctg().
№8. Сложную функцию у записать в виде цепочки равенств:
1) у =(2х – 5)10; 2) y =lg.
Ответ: 1) y=u10; u=2x – 5; 2) y=lg v; v=tg w; w=.
Занятие 2 Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности
Цели
Знать:
-
Определение последовательности; бесконечно малой и бесконечно большой последовательности;
-
определение предела числовой последовательности;
-
основные свойства и операции над пределами последовательностей.
Уметь:
-
Вычислять предел последовательности, используя основные свойства и операции над пределами последовательностей.
Под числовой последовательностью х1, х2, х3, …, хn, … понимается функция
xn=f (n), (11)
заданная на множестве натуральных чисел.
Пример. Если известен общий член последовательности xn=, то соответствующая последовательность будет: 1, , , , …, , …
Действия над последовательностями
Пусть {xn} и {yn} произвольные последовательности, содержащих одинаковое количество элементов.
Суммой (разностью) последовательностей {xn} и {yn}, называется последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих членов последовательностей {xn} и {yn}.
(12).
Аналогично определяются произведение и частное последовательностей {xn} и {yn}, в случае частного .
Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность {xn} на число k, необходимо каждый член этой последовательности умножить на k, т.е.
(13).
▼ Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство
(14). ▲
▼ Последовательность {уn} называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство
|yn|>M (15). ▲
Пример. уn=( –1)n – 1n, принимает значения: 1; –2; 3; –4; … Данная последовательность есть бесконечно большая величина, так как она становится и остаётся с некоторого номера N по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа |M|, |yn|>M при nN.
▼ Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ). Будет выполнено неравенство
(16). ▲