Лекции по финансовой математике

Автор: Цветков Н. Д

Введение

участники любой финансовой операции должны согласовать ряд условий: сумму кредита (займа, инвестиций), сроки погашения долга, порядок начисления процентов и т.д. Для этого применяется финансовый анализ, который позволяет решать задачи:

1) измерение финансовых результатов операции;

2) выявление зависимости результатов от основных параметров операции, определение их взаимосвязи и допустимых значений;

3) разработка планов выполнения операций;

4) определение параметров эквивалентного изменения условий сделки.

В финансовых операциях суммы денег связываются с конкретными моментами или периодами времени. Необходимость этого выражается в принципе не равноценности денег, относящихся к разным моментам времени.

Имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Полученный доход, в свою очередь, может быть реинвестирован и т.д. Влияние фактора времени многократно усиливается в период инфляции.

Поэтому в финансовом анализе нельзя суммировать денежные величины, относящиеся к разным моментам времени. Однако такое суммирование вполне допустимо там, где фактор времени не имеет принципиального значения. Например, в бухгалтерском учете для получения итогов по периодам.

1. Проценты

1.1. Виды процентных ставок

Под процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя и т.д.

При заключении соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки, под которой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления (год, полугодие, квартал, месяц или день).

Проценты или выплачиваются по мере их начисления, или присоединяются к основной сумме долга. Процесс такого увеличения суммы денег называют наращением.

Проценты различаются по базе их начисления, которая может быть постоянной или переменной. Во втором случае за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при переменной - сложные процентные ставки.

Существует два принципа расчета процентов: наращение на сумму долга и скидка с конечной суммы задолженности. Соответственно применяют ставки наращения и учетные ставки.

1.2. Наращение по простой процентной ставке

Формула наращения. Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.п.) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.

Введем обозначения:

- проценты за весь срок ссуды;

- первоначальная сумма долга;

- наращенная сумма, или сумма в конце срока;

- ставка наращения (десятичная дробь);

- срок ссуды.

Срок обычно измеряется в годах; соответственно - годовая ставка. Каждый год приносит проценты в сумме . Начисленные за весь срок проценты составят

Наращенная сумма

(1.1)

Эту формулу называют формулой простых процентов, а множитель - множителем наращения простых процентов. График роста по простым процентам представлен на рис. 1.1.

Расчет процентов для краткосрочных ссуд. Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Поскольку в контракте обычно фиксируется годовая ставка, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору.

Выразим общий срок ссуды в виде дроби:

,

где - число дней ссуды;

- число дней в году, или временная база.

Если = 360 (12 месяцев по 30 дней), то получают обыкновенные проценты, а при использовании действительной продолжительности года получают точные проценты.

Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае считается, что любой месяц содержит 30 дней. Точное число дней ссуды определяется подсчетом числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант дает самые точные результаты и обозначается 365/365.

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод также называется банковским и обозначается 365/360.

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Применяется при промежуточных расчетах и обозначается 360/360.

Пример 1.1. Ссуда в размере 1000 руб. выдана 1 марта до 1 июня под 20% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока?

Число дней ссуды: точное - 92, приближенное - 90.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360):

руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):

руб.

Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. При простых ставках наращения на конец срока сумма

, (1.2)

где - ставка простых процентов в периоде

- продолжительность периода, .

Пример 1.2. Контракт предусматривает начисление процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года.

банки практикуют начисление и выплату процентов ежеквартально или ежемесячно, причем начисление производится по постоянной или растущей процентной ставке. Для этого в контракте фиксируются годовые ставки, по которым определяются размеры квартальных или месячных ставок. Годовые ставки в этом случае называют номинальными. Например: банк предлагает следующие номинальные ставки для поквартального начисления и выплаты процентов: 20, 24, 28, 32%. Т.о. за первый квартал выплачивается 20/4 = 5%, за второй 24/4 = 6% и т.д.

Реинвестирование. В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумма для всего срока составит

(1.3)

где - ставки, по которым производится реинвестирование.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то

, (1.4)

где - количество реинвестиций.

Пример 1.3. 100 руб. положены 1 января на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза? Если начислять точные проценты, то

= 100(1 + 0,2)(1 + 0,2)(1 + 0,2) = 105,01 руб.

Начисление обыкновенных процентов дает

= 100(1 + 0,2)³ = 105,08 руб.