1.6. Дисконтирование по сложной процентной ставке и учет

Как и для простых процентов возможно математическое дисконтирование и банковский учет. В первом случае используют процентную ставку (ставку наращения), во втором - учетную ставку.

Математическое дисконтирование. Из (1.8) получим:

P = = ⁿ, (1.14)

Величину ⁿ называют дисконтным множителем.

ⁿ = (1.15)

Для случаев, когда проценты начисляются m раз в году, получим:

P = = ^mn, (1.16)

^mn =(1 + )^-mn (1.17)

Величину , полученную дисконтированием , называют современной стоимостью .

Пример 1.11. Сумма 5 млн. руб. выплачивается через 5 лет. Определить ее современную стоимость, если применяется ставка сложных процентов 12% годовых. Дисконтный множитель

ⁿ = 1,12^-5 = 0,56743

Современная величина = 5 000 000 х 0,56743 = 2 837 150 руб.

Учет по сложной учетной ставке. При применении сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с замедлением, т.к. каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Такое дисконтирование осуществляется по формуле

, (1.18)

где - сложная годовая ставка.

Пример 1.12. Вексель на сумму 5 млн. руб., срок платежа по которому наступает через 5 лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Какова сумма дисконта?

= 5 000 000 (1 – 0,15)⁵ = 2 218 526,56 руб.;

Дисконт = 2 781 473,44 руб.

2. Типовые задачи

2.1. Погашение задолженности частями

При погашении задолженности частичными платежами надо решить какую сумму брать за базу для расчета процентов и как определять остаток задолженности. Существует два метода решения этой задачи:

1. Актуарный метод, в основном для операций со сроком более года;

2. Правило торговца, обычно для сделок со сроком не более года.

Актуарный метод. Он предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет, в первую очередь, на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов на следующий период и т.д. Поясним на рис. 2.1.

Пусть ссуда в размере выдана на срок . На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два платежа: и , а в конце срока выплачивается остаток задолженности в сумме . Очевидно, что на интервале задолженность возрастает (начисляются проценты) до величины . В конце этого периода в счет погашения задолженности выплачивается сумма , долг уменьшается до и т.д. Заканчивается операция получением кредитором в окончательный расчет суммы . В этот момент задолженность должна быть равна нулю. Такой график называется контуром операции. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т.е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности.

Для рис.2.1, используя сложную процентную ставку, получим следующие расчетные формулы:

Пример 2.1. Имеется обязательство погасить за 4 года долг в сумме 15 млн руб. Кредитор согласен на частичные платежи. Сложные проценты начисляются по ставке 20% годовых. Частичные поступления: в конце первого и третьего года – по 8 млн. руб.; в конце четвертого года осуществляется окончательный расчет.

млн. руб.

млн. руб.

млн. руб.

Правило торговца. Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга, с начисленными за весь срок процентами, остается неизменной до полного погашения. Параллельно идет накопление частичных платежей, с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен сбалансировать долг и платежи.

Так как срок ссуды меньше года, используется простая процентная ставка.

, (2.1)

где - остаток долга на конец срока;

D

S

P

K

R

- наращенная сумма долга;

- наращенная сумма платежей;

- сумма частичного платежа;

- общий срок ссуды;

- интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды.

Графическое изображение такой операции (рис.2.2) состоит из двух контуров. Второй контур относится к промежуточному платежу.

Пример 2.2. Ссуда 1,5 млн руб. выдана на 10 месяцев под 20% годовых. В счет погашения долга через 4 месяца поступило 800 тыс. руб. Остаток долга на конец срока согласно (2.1)

= 1,5(1 + 0,2) – 0,8(1 + 0,2) = 0,87 млн. руб.

При применении актуарного метода получим

= [1,5(1 + 0,2) – 0,8](1 + 0,2) = 0,88 млн. руб.