7.2. Опционы

Любой контракт, по которому одна из сторон получает право покупать или продавать что-либо по заранее определенной цене, называется опционом. Опционный контракт является двусторонней сделкой, по которой его покупатель получает право покупать или продавать определенные активы в будущем по заранее оговоренной цене, а продавец опциона обязан исполнить право покупателя, если тот захочет это сделать. Опционы существенно отличаются от форвардных и фьючерсных контрактов, так как в них обе стороны обязаны исполнить контракт.

Торговля опционами подобна работе фьючерсной биржи. Опционная биржа сводит покупателей и продавцов опционов и гарантирует оплату в случае невыполнения любой из сторон взятых на себя обязательств.

Опцион характеризуется сроком погашения или временем исполнения и ценой исполнения Опционы делят на два класса: колл-опционы и пут-опционы. Колл-опцион дает его покупателю (владельцу) право купить заданный актив по цене исполнения, а пут-опцион – право продать заданный актив по цене исполнения. Таким образом, покупатель опциона получает право (но не обязанность) исполнить сделку по контракту в некоторый момент в будушем. Если выполнение этой сделки будет невыгодным для покупателя, то он воспользуется правом не исполнять ее. Владелец колл-опциона во время его исполнения может купить актив по цене исполнения , а продавец колл-опциона обязан продать актив по цене . Аналогично, при исполнении пут-опциона его покупатель продает заданный актив по цене а продавец пут-опциона обязан купить его по этой цене.

Если опцион предъявляется к исполнению только в момент его погашения то он называется европейским. Если же опцион может быть предъявлен к исполнению в любой момент времени до наступления срока погашения , то он называется американским.

Опционы – это финансовые инструменты, позволяющие застраховать имеющиеся активы от риска изменения их цены. Допустим, инвестор приобрел акцию некоторой фирмы с целью продать ее по более высокой цене в будущем. Так как он не уверен в прогнозе повышения цены акции через определенное время, он хотел бы застраховать длинную инвестицию от падения расчетной цены на акцию. Для этого он приобретает пут-опцион на данную акцию, позволяющий ему продать акцию в будущем по приемлемой для него цене. Если цена на акцию возрастет и станет больше, чем цена исполнения купленного пут-опциона, то инвестор продает акцию по рыночной цене. При этом пут-опцион не будет исполнен. Если же цена не возрастет должным образом, или даже упадет, то есть будет ниже цены исполнения пут-опциона, то инвестор исполнит пут-опцион и продаст акцию по цене исполнения. В этом случае он избежит значительных убытков. Заметим, что открытие короткой позиции по фьючерсному контракту на акцию тоже устранило бы риск убытков, но сделало бы невозможным получение дополнительной прибыли в случае резкого повышения цены акции. Таким образом, покупатель опциона, приобретая право исполнения сделки, обязан выплатить компенсацию продавцу опциона за возможные убытки в будущем. Эта компенсация определяет цену опциона.

Рассмотрим задачу определения цены европейского колл-опциона на акцию. Пусть срок погашения через один период ( ), цена исполнения, Предположим, что в момент исполнения цена на акцию равна . Действия держателя колл-опциона следующие. Если цена меньше , то не следует исполнять опцион, поскольку убыток составит . Если же цена будет больше , то колл-опцион выгодно исполнить. В этом случае акция приобретается по цене , а можно продать ее по цене , получая прибыль При этом на эту сумму понесет убытки продавец колл-опциона. Таким образом, если разность отрицательна, или равна нулю, то опцион не исполняется, то есть платеж от опциона равен нулю, а если разность положительна, то колл-опцион будет исполнен, и в этом случае компенсация за убытки должна составить . Доход владельца колл-опциона на дату погашения будет равен (рис. 7.2)

Аналогично, доход владельца пут-опциона на время его исполнения составит (рис. 7.3)

.

Для оценки колл-опциона воспользуемся биномиальной моделью эволюции цен акции, рассмотренной в п. 6.5. Биномиальная модель предполагает, что в любом периоде цена акции может возрасти с коэффициентом или уменьшится с коэффициентом Тогда, если текущая цена акции, то и высокая и низкая цены акции, соответственно.

Обозначим: цена колл-опциона, которую надо определить; коэффициент увеличения инвестиций в безрисковый актив. Доход от колл-опциона в зависимости от изменения цены акции будет равен:

(7.1)

Существует несколько способов определения рациональной цены опциона Рассмотрим один из них.

Метод эквивалентного портфеля. Определим цену опциона, используя акции и безрисковые активы для воспроизведения платежей, порождаемых опционом. Пусть мы покупаем акций и инвестируем в безрисковый актив денежную сумму в размере Выберем и так, чтобы будущие платежи по данному портфелю совпадали с платежами опциона:

(7.2)

Решая систему этих уравнений, находим и :

(7.3)

Если мы выбираем и в соответствии с этими уравнениями, то наш портфель из акций и безрисковых активов порождает те же самые платежи, что и колл-опцион. Но тогда цена колл-опциона должна равняться цене эквивалентного портфеля.

(7.4)

Из полученных соотношений можно найти нейтральные к риску вероятности биномиальной модели изменения цены акции (п. 6.5). Подставим значения и (7.3) в формулу (7.4).

где

(7.5)

Цена колл-опциона есть средняя будущая цена опциона, дисконтированная на безрисковый процент:

. (7.6)

Пример 7.2. Текущая цена акции 1500 рублей. К концу периода она может либо подняться на 25%, либо опуститься на 20%. Определим цену однопериодного европейского колл-опциона на одну акцию, если цена его исполнения равна 1600 рублей, а безрисковая процентная ставка составляет 10%.

Итак, по условию задачи:

Найдем:

Тогда из (7.1)

Из (7.3) находим

Текущая цена опциона (7.4)

руб.

Изменения цен на акцию и опцион представлены на рис. 7.4.

Рисковый актив Опцион

p p

1-p 1-p

Рис. 7.4.

Нейтральные к риску вероятности равны (7.5).

Теперь вычислим текущую стоимость европейского однопериодного пут-опциона.

Введем обозначения.

искомая цена пут-опциона с ценой исполнения

доходы от пут-опциона в зависимости от движения цены акции вверх и вниз соответственно.

(7.7)

Пусть, как и для колл-опциона, мы пытаемся создать портфель из акций и безрисковых активов, порождающих те же платежи, что и пут-опцион. Полагая

(7.8)

получим (7.9)

Так как заданный портфель повторяет пут-опцион, их текущие стоимости совпадают.

(7.10)

Пример 7.3. Пусть, как и в примере 7.2, текущая цена акции 1500 рублей. К концу периода она может либо подняться на 25%, либо опуститься на 20%. Определим цену однопериодного европейского пут-опциона на одну акцию, если цена исполнения 1600 рублей, а безрисковая ставка 10%.

Дано:

Найдем

Из (7.7) ,

.

Из (7.9) находим

Стоимость пут-опциона (7.10) равна

Имеет место “пут-колл” взаимосвязь европейских опционов с одинаковой ценой исполнения

(7.11)

Суть этой формулы состоит в том, что портфель инвестиций, состоящий из акции, пут-опциона и короткой позиции по колл-опциону, эквивалентен безрисковой инвестиции. Действительно, пусть мы имеем акцию, однопериодный пут-опцион на эту акцию с ценой исполнения и мы продали колл-опцион с той же ценой исполнения. Теперь если цена акции , то пут-опцион не исполняется, но в исполнение колл-опциона мы обязаны продать имеющуюся у нас акцию по цене Если же цена акции то не исполняется колл-опцион, но у нас есть возможность исполнить пут-опцион и продать акцию по цене В итоге получаем, что как бы себя не вела цена акции в конце периода у нас будет одна и та же сумма Значит, созданный портфель эквивалентен безрисковой инвестиции и может быть оценен с помощью дисконтирования цены исполнения опционов

Пример 7.4. Воспользуемся данными примеров 7.2 и 7.3. Цена акции рублей, цена колл-опциона рублей, цена пут-опциона рублей, цена исполнения рублей, коэффициент роста для безрискового актива

То есть покупка акции, пут-опциона и продажа колл-опциона эквивалентны размещению разности их цен рублей в безрисковый актив с доходностью 10%.