3. Потоки платежей
3.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
Финансовые операции часто предполагают последовательность платежей. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. Такие последовательности называют потоком платежей. Отдельный элемент этого ряда - член потока.
Виды потоков платежей. Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а платежи могут производиться через разные интервалы времени.
Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют рентой. Например, получение процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту и т.д.
Параметры ренты: член ренты - размер отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты, процентная ставка, число платежей в году, способ и частота начисления процентов.
По количеству членов различают ограниченные по срокам ренты и бесконечные, или вечные ренты.
По соотношению начала срока ренты и некоторого момента времени (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные.
По моменту выплаты платежей в пределах периода. Если платежи в конце периода, то рента называется запаздывающей, если в начале периода, то - упреждающей. Иногда платежи относят к середине периодов.
Если все члены ренты одинаковы, рента называется постоянной. В дальнейшем будем рассматривать только такие ренты.
Обобщающие параметры потоков платежей.
Наращенная (конечная) сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.
Приведенная (современная) стоимость - сумма всех членов потока платежей, дисконтированных на начальный или некоторый упреждающий момент времени.
3.2. Нерегулярные потоки платежей
Рассмотрим
общую постановку задачи определения
параметров при анализе нерегулярных
потоков платежей. Допустим имеется ряд
платежей
,
выплачиваемых спустя время
после некоторого начального момента
времени, общий срок выплат
лет. Необходимо определить наращенную
на конец срока сумму потока платежей.
Если проценты начисляются раз в году
по сложной ставке
,
то получим:
(3.1)
Современная стоимость потока определяется как сумма дисконтированных платежей:
(3.2)
где
- дисконтный множитель по ставке
.
Между
и
существует функциональная зависимость:
(3.3)
Дюрация – это средняя продолжительность поступлений. Зная современную стоимость потока платежей, для каждой выплаты определим ее вес
.
Из (3.2) следует, что
.
Это
значит, что каждый вес
является долей современной стоимости,
которую вносит выплата
в момент
.
Дюрацией называют средневзвешенную
сумму
(3.4)
Дюрацию используют при оценке риска изменения стоимости потока платежей в связи с изменением процентной ставки. Чем больше дюрация, тем больше скачок в текущей цене потока платежей при изменении процентной ставки.
Пример 3.1. График предусматривает следующий порядок выдачи ссуды во времени (время в годах будем отсчитывать от момента первой ссуды): 0 - 5 млн.руб., 1 - 15 млн.руб., 3 - 18 млн.руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало четвертого года при условии, что годовая процентная ставка 20%. Схематично условия задачи приведены на рис. 3.1. 5 15 18 -?
0 1 3 4 Рис. 3.1 По формуле (3.1) находим
= 5 Определим современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. По формуле (3.2) = 5 + 15 1,2-1 + 18 1,2-3 = 27,92 млн.руб. Определим дюрацию. Найдем веса платежей
По формуле (3.4)
|
1,24
+ 15
1,23
+ 18
1,2
= 57,888 млн.руб.
( 1 год 207 дней)
Пример 3.2. В условиях примера 3.1 изменим график платежей: 0 - 12,53 млн.руб., 1 - 15 млн.руб., 3 - 5 млн.руб. Схематично условия задачи приведены на рис. 3.2. 12,53 15 5
0 1 3 Рис. 3.2 По формуле (3.2) находим современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. = 12,53 + 15 1,2-1 + 5 1,2-3 = 27,92 млн.руб. Определим дюрацию. Найдем веса платежей
По формуле (3.4)
|
( 276 дней)