- •Лекции по финансовой математике
- •Введение
- •1. Проценты
- •1.1. Виды процентных ставок
- •1.2. Наращение по простой процентной ставке
- •1.3. Дисконтирование по простым процентным ставкам и учет
- •1.4. Наращение по сложной процентной ставке
- •1.5. Наращение процентов m раз в году
- •1.6. Дисконтирование по сложной процентной ставке и учет
- •2. Типовые задачи
- •2.1. Погашение задолженности частями
- •2.2. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •2.3. Конверсия валюты и наращение процентов
- •2.4. Инфляция
- •2.5. Конверсия платежей
- •3. Потоки платежей
- •3.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •3.2. Нерегулярные потоки платежей
- •3.3. Запаздывающие ренты
- •Формулы для расчета наращенной суммы s и современной стоимости a постоянных запаздывающих рент
- •Формулы для расчета срока постоянных запаздывающих рент
- •3.4. Другие виды рент
- •4. Страхование
- •4.1. Финансовые ренты в страховании
- •4.2. Вероятности дожития
- •4.3. Страхование жизни
- •4.4. Пенсионное страхование
- •4.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •5.Облигации
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Цена и доходность облигации
- •5.3. Временная структура процентных ставок
- •5.4. Риск портфеля облигаций
- •5.5. Форвардные контракты
- •6.Акции
- •6.1. Основные понятия
- •6.2. Портфель инвестиций
- •6.3. Модель оптимизации портфеля
- •6.4. Задача Марковица
- •6.5. Модель эволюции цен акций
- •7. Фьючерсы и опционы
- •7.1. Фьючерсы
- •7.2. Опционы
- •7.3. Биномиальная модель оценки стоимости опционов
- •Литература
- •Оглавление
2.4. Инфляция
В рассмотренных нами методах наращения не учитывалось снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый финансовой операцией. Однако инфляция может играть заметную роль.
Рост цен за некоторый период измеряется с помощью индекса цен . Пусть - наращенная сумма денег. С учетом инфляции она составит:
= . (2.6)
Свяжем индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции понимают относительный прирост цен за период. Обозначим его , и будем измерять в процентах (в формулы будем подставлять в виде десятичной дроби).
. (2.7)
В свою очередь
. (2.8)
Например, если темп инфляции равен 130%, то цены за этот период выросли в 2,3 раза.
Среднегодовой темп роста цен находится на основе как
, (2.9)
Поскольку инфляция является цепным процессом (цены в текущем периоде повышаются на процентов относительно уровня предыдущего периода), то индекс цен за несколько таких периодов равен:
= (2.10)
Если - постоянный темп инфляции за период, то за таких периодов получим
. (2.11)
Пример 2.6. Постоянный темп инфляции на уровне 5% в месяц за год приведет к росту цен в размере = 1,0512 = 1,796 т.о. годовой темп инфляции = 1,796 - 1 = 0,796 или 79,6%, а не 60%. |
Пример 2.7. Последовательный прирост цен по месяцам составил 5, 10 и 8%. Индекс цен за три месяца (2.10) равен = 1,05x1,1x1,08 = 1,25. Темп инфляции за три месяца составил 25%. |
Если наращение производится по простой ставке:
(2.12)
увеличение наращенной суммы, с учетом сохранения покупательной способности денег, имеет место если .
Пример 2.8. Допустим, на сумму 1,5 млн руб. в течение 3 месяцев начисляются простые проценты по ставке 30% годовых (К = 360). Наращенная сумма равна 1,6125 млн.руб. Если ежемесячная инфляция характеризуется темпами из примера 2.7, то наращенная сумма с учетом инфляции составит 1,6125/1,25 = 1,29 млн.руб. |
Пусть наращение производится по сложным процентам. Тогда
(2.13)
Определим при какой процентной ставке наращение будет только компенсировать инфляцию? В случае простых процентов множитель наращения с учетом инфляции из (2.12) должен быть равен 1. Отсюда минимально допустимая ставка:
(2.14)
Аналогично из (2.13) для сложных процентов
(2.15)
Ставку, превышающую , называют положительной процентной ставкой.
Пример 2.9. По данным примера 2.7 найдем минимально допустимую величину ставки. = 1,25 за три месяца. или 100 % годовых. |